Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

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Prof. Dr. R. Egger WS 2016/17 Blatt 10

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 20.01.2017, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 23.01.2017 ¨

Aufgabe 23: Lorentz-Boost: Transformation elektromagnetischer Felder 20 Punkte

Es seien K und K

⁰

zwei Inertialsysteme mit parallelen Achsen und gleichem Raum-Zeit-Ursprung. K

⁰

bewege sich relativ zum Laborsystem K mit der konstanten Geschwindigkeit v < c in die x-Richtung. Dieser Lorentzboost ist (siehe Vorlesung!) durch die folgende Lorentz-Transformationsmatrix a mit Matrixelementen a

^µν

(wobei µ, ν = 0, . . . 3) gegeben:

a =







γ −βγ 0 0

−βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1







, β = v

c , γ = 1

p 1 − β

²

(1)

Es gilt also t

⁰

= γ(t − vx/c

²

) und x

⁰

= γ(x − vt), sowie y

⁰

= y, z

⁰

= z.

a) Verifizieren Sie dass (1) eine erlaubte Lorentztransformation darstellt. Welche Bedingung ist demnach erf¨ ullt?

Erl¨ autern Sie den Begriff der “relativistischen Kovarianz” physikalischer Gleichungen. (3 Punkte)

b) Der Lorentzboost a

^µν

in (1) transformiert auch die elektromagnetischen Felder. Zeigen Sie aus dem tensoriellen Transformationsverhalten des Faradaytensors (Summenkonvention: ¨ uber doppelte Indizes wird summiert!),

F

^0µν

= a

^µρ

a

^νδ

F

^ρδ

, F

^µν

=







0 −E

x

−E

y

−E

z

E

x

0 −B

z

B

y

E

_y

B

_z

0 −B

x

E

_z

−B

y

B

_x

0 





dass sich das elektrische bzw. das magnetische Feld unter dem angegebenen Lorentzboost wie folgt transformie-

ren: 

 E

_x⁰

E

⁰_y

E

_z⁰



 =





E

x

γ(E

y

− βB

z

) γ(E

z

+ βB

y

)



 ,



 B

⁰_x

B

_y⁰

B

_z⁰









B

x

γ(B

y

+ βE

z

) γ(B

z

− βE

y

)





Was ergibt sich daraus im nichtrelativistischen Fall (Galileitransformation)? (7 Punkte)

c) Zeigen Sie dass I = E

²

− B

²

eine Invariante unter Lorentztransformationen ist. Geben Sie je ein physikalisches

Beispiel f¨ ur die F¨ alle I < 0, I = 0 und I > 0. (5 Punkte)

1

(2)

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 10 ¨

d) Betrachten Sie nun den Fall gekreuzter Felder im Laborsystem,

E =



 0 E 0



 , B =



 0 0 B





mit |B| > |E|. Gibt es ein bewegtes Bezugssystem K

⁰

, in dem das elektrische Feld verschwindet? Wenn ja, mit welcher Geschwindigkeit v bewegt sich K

⁰

relativ zu K, und welches Magnetfeld finden Sie dann in K

⁰

? Gibt es auch ein Bezugssystem K

⁰

, in dem das magnetische Feld verschwindet? (5 Punkte)

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