Prof. Dr. R. Egger WS 2017/18 Blatt 11
Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨
Abgabe bis Freitag, 19.01.2018, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 22.01.2018¨
Hinweis: Dies ist das letzte Blatt. Der ¨Ubungstermin am 29.01.2018 findet als Tutorium statt. Dieses Blatt ent- spricht in Schwierigkeitsgrad und Umfang der Klausur.
Aufgabe 24: Grundlagen
9 PunkteDie folgenden Fragen sind kurz, stichpunktartig, und ohne ausf¨uhrliche Rechnungen zu beantworten.
a) Leiten Sie aus den Maxwellgleichungen die Kontinuit¨atsgleichung her! Wie ¨andert sich die LadungQin einem
endlichen Volumen V mit der Zeit? (2 Punkte)
b) Was versteht man allgemein unter einer Eichtransformation? (Die Transformationsgleichungen sollen explizit angegeben werden.) Zeigen Sie, dass elektrische und magnetische Felder eichinvariant sind. Was versteht man unter der Lorenz-Eichung, und welcher Vorteil entsteht durch Forderung der Lorenz-Eichbedingung? Wie kann man ausgehend von einer beliebigen Eichung sicherstellen, dass die Lorenz-Eichbedingung erf¨ullt ist? Geben Sie nun die allgemeine Eichtransformations-Gleichung und die Lorenz-Eichbedingung auch in relativistischer
Notation an! (2.5 Punkte)
c) Was versteht man unter einer Lorentztransformation? Was ist ein Vierervektor? Geben Sie (schematisch) das jeweilige Transformationsgesetz unter Lorentztransformationen an: (i) f¨ur das magnetische FeldB(r, t), (ii) f¨ur die StromdichteJ(r, t), und (iii) f¨ur die Energiedichtee(r, t) des elektromagnetischen Feldes. (2.5 Punkte) d) Betrachten Sie die Brechung eines Lichtstrahls an der Grenzfl¨ache zwischen zwei Isolatoren mit Brechungs- zahlen n und n0. Zeigen Sie, dass f¨ur den Einfallswinkel α der gebrochene Strahl den Ausfallswinkel β mit sinβ = (n/n0) sinα aufweist. Erl¨autern Sie kurz (in Worten) die Begriffe (i) Totalreflexion, (ii) Fresnel’sche
Formeln, und (iii) Brewsterwinkel. (2 Punkte)
Aufgabe 25: Induzierte Ladung auf einer Leiterplatte
4 Punkte Betrachten Sie eine unendlich ausgedehnte und geerdete Leiterplatte vernachl¨assigbarer Dicke (die Leiterplatte sei in derxy-Ebene, d.h.z= 0). Eine Punktladungqbefindet sich im senkrechten Abstanddoberhalb der Platte, bei der Positionr= (0,0, d).a) Zeigen Sie mit der Spiegelladungsmethode, dass das elektrostatische Potentialϕ(r) im Halbraumz≥0 gegeben ist durch
ϕ(x, y, z) = q
px2+y2+ (z−d)2 − q
px2+y2+ (z+d)2
(1 Punkt)
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b) Die am Ortr= (x, y,0) auf der Platte induzierte Oberfl¨achenladung ist dann gegeben durch
σ(x, y) =− 1 4π
∂ϕ
∂z z=0
Berechnen Sieσ(x, y) und daraus die gesamte Induktionsladung auf der Platte,Qind=R
dxdyσ(x, y). (3 Punkte)
Aufgabe 26: Elektromagnetische Wellen
7 PunkteBetrachten Sie eine elektromagnetische Welle im Vakuum, welche gegeben ist durch (ω=ck mitk=|k|)
E(r, t) =E0ei(k·r−ωt), B(r, t) =B0ei(k·r−ωt), (1) wobei die Komponenten der konstanten VektorenE0undB0komplexwertig sein k¨onnen. Die physikalischen Felder sind gegeben durch die Realteile Re(E) und Re(B).
a) Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen im Vakuum (keine Ladungen, keine Str¨ome) die homogene Wellenglei- chung f¨ur die FelderE(r, t) undB(r, t) her. Verifizieren Sie, dassE(r, t) undB(r, t) in Gleichung (1) L¨osungen
dieser Gleichung sind. (2 Punkte)
Hinweis: rot rot = grad div−∆.
b) Zeigen Sie, dass die Welle transversal ist, d.h. es muss gelten: E0 ⊥ k, B0 ⊥ k, und E0 ⊥B0. Dr¨ucken Sie B0 durch E0 aus, und zeigen Sie damit, dass |B0| = |E0| gilt. Beweisen Sie nun, dass |B0| = |E0| in allen
Inertialsystemen gilt. (3 Punkte)
c) Wie modifizieren sich die Wellengleichungen in a), wenn sich die Welle in einem ungeladenen (ρ= 0) linearen Material mit Dielektrizit¨atskonstanteε, magnetischer Permeabilit¨atµund elektrischer Leitf¨ahigkeitσausbrei- tet? (Herleitung ist nicht gefragt!) Diskutieren Sie qualitativ, wie sich dadurch das Feldverhalten in Gleichung
(1) ver¨andert. (2 Punkte)
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