Analysis-Aufgaben: Differentialrechnung 1 1. Wir gehen von der folgenden Funktion aus: f(x) = x

Analysis-Aufgaben: Differentialrechnung 1

1. Wir gehen von der folgenden Funktion aus:

f(x) =x³−1.5x²−7x+ 7.5

Welche der folgenden Graphen stellt die Steigungsfunkltion vonf dar ? Begr¨undung:

1

2. Die folgenden Funktionen sind gegeben:

f(x) = 5x−12, g(x) = 17x², h(x) =−x²+ 5 (a) Bestimme die Ableitungen vonf,g undh.

(b) Berechnef⁰(−2), g⁰(0), h⁰(4).

(c) Berechne die Steigung vonf(x) im Punkt (6/f(6)).

Berechne die Steigung vong(x) an der Stelle 3.

Berechne die Steigung vonh(x) im Ursprung.

(d) Bestimme die Stelle, an welcherh(x) die Steigung -1 hat.

Bestimme den Punkt, in welchemg(x) die Steigung 7 hat.

Bestimme die Stelle, an welcherf(x) die Steigung 2 hat.

(e) Bestimme die Argumente f¨ur die lokalen Extremas vong(x) undh(x) und vergleiche Deine Resultate mit den Koordinaten des Scheitel- punktes.

(f) Bestimme ein lokales Extremum vonf(x).

Wo verschwindet die Ableitung vonf(x)?

3. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f(x) berechnen wir mit f⁰(x0) = lim_x→x0 f(x)−f(x0)

x−x0 = lim_x→x0 f(x0)−f(x) x0−x . Die Ableitung l¨asst sich auch mit folgender Formel bestimmen:

f⁰(x) = lim_h→0f(x+h)−f(x)

h .

(a) Ueberlege Dir, warum diese Formel auch gilt.

(b) Berechne mit der neuen Formel die Ableitung vonf(x) =x². (c) Berechne die Ableitung vong(x) =_x¹.

(Das Resultat wird sein:g⁰(x) =−_x¹2.)

2