Mathematik für Klasse 6 Bruchrechnung Teil 1
5 Trainingseinheiten zum Unterricht
Datei Nr. 10220
Friedrich W. Buckel
Stand 12. Januar 2006
I
NTERNETBIBLIOTHEK FÜRS
CHULMATHEMATIKTestversion
Inhalt
Vorwort
1. Training: Bruchteile von Schokolade und Pizza 1
2. Training: Erweitern von Brüchen 4
3. Training: Kürzen von Brüchen 12
4. Training: Bruchteile von Maßeinheiten 15
5. Training: Gemischte Zahlen 24
Lösungsteil für alle Aufgaben 27 - 37
Vorwort
Das Lesen und Verstehen eines solchen Textes ist für Schüler der Klassenstufe 6 oftmals noch zu schwer. Und da meine Hilfe gerne von Eltern in Anspruch
genommen wird, deren Kinder Probleme in Mathematik haben, ist hier ein Vorwort notwendig.
Wenn ein Kind in dieser Altersstufe sich in Mathematik schwer tut, kann es viele Ursachen haben.
Das Kind hat zu wenig Grundlagen: Es beherrscht das „Einmal-Eins“ nicht und hat zu wenig Übung im Kopfrechnen.
Das Abstraktionsvermögen des Kindes ist noch nicht so weit entwickelt, dass es Transferleistungen erbringen kann. Dann kann man ihm zwar an einem Beispiel klar machen, wie man rechnen soll, aber bei anderen Aufgaben, vor allem, wenn sie eine andere Gestalt haben, weiß das Kind damit nichts mehr anzufangen. Es kann die gelernte Methode noch nicht vom einen Beispiel auf das andere transferieren ! Dann aber erkennt das Kind auch nicht den Hintergrund einer solchen Rechnung. Es klammert sich eben an die gesehenen Beispiele und sein Rechnen ist ein
Nachahmen.
Hier stoßen wir an das generelle Problem des Mathematikunterrichts in dieser
Altersstufe (Klasse 5 bis 7). In der Regel stoßen Herleitungen auf Unverständnis, und die, um so abstrakter sie geführt werden. Kinder leben in diesem Alter vom
Erkennen und vom Aha-Effekt. An einfachen und sich wiederholenden Beispielen merken die Kinder, dass es Analogien gibt, die man dann zu einer Regel fassen kann. Der Mathematiklehrer sollte dann auch den Mut besitzen und manche Sonderfälle einfach ignorieren. Viele Kinder machen dann zu, wenn man mit zu vielen „ja-aber“ und „wenn-dann“ kommt. Man kann ja andeuten, dass es Ausnahmen gibt. Hier ist der Drang nach Vollständigkeit Grund vielen Übels.
Perfekte Mathematiker werden hier zu schlechten Pädagogen ! Der geschickte Lehrer findet gute Beispiele und fördert so das Entdecken der Kinder. Aber bitte langsam und nicht zu viele Varianten auf einmal. Sonst bremst man die Entwicklung eher als man sie zur Entfaltung bringt!
Was also können Eltern tun, wenn Sie mit diesem Text Hilfe suchen ?
Meine Texte sind eher für Eltern gedacht. Sie können nachvollziehen, welche Methoden es gibt, und was man beachten kann. Rechnen Sie dann einzelne Beispiele mit Ihrem Kind durch und zeigen Sie Methoden auf. Nur wenige Kinder werden diese Texte alleine durcharbeiten können. Die Aufgabenseiten hieraus sind durchaus für Kinder selbst geeignet. Doch ich bringe auch anspruchsvolle Aufgaben, denn ich will vieles abdecken, was so möglich ist.
1. Training: Bruchteile von Schokolade und Pizza
Beispiel 1
Eine Tafel „Mathe-Schoko“ hat vier Vertiefungen zum Auseinanderbrechen. Sie wird dadurch in vier Teile aufgeteilt.
Jedes dieser Teile nennt man ein Viertel, oder eine Viertels-Tafel. Dies schreibt man so: 41Tafel .
Nimmt man zwei Teile, also 2 Viertel, dann hat man die halbe Tafel: 12Tafel .
Und dann gibt es noch drei Viertel: 34 Tafel Und wie man sieht sind 4 Viertel wieder die ganze Tafel: 44 Tafel=1 Tafel
Beispiel 2
Eine Pizza zerschneidet man meist in 8 gleich große Teile:
Jedes einzelne Stück bezeichnet man als ein Achtel und schreibt 81Pizza
Die nächste Abbildung zeigt drei Achtel schraffiert:
3
8Pizza . Der nicht schraffierte Teil sind 58Pizza . Zusammen ergeben sie eine ganze Pizza:
3 5 8
8+ = =8 8 1
Man kann durch Abzählen herausfinden:
Nimmt man vier Achtel, hat man die Hälfte:
4 1
8 Pizza=2Pizza.
Nimmt man zwei Achtel, hat man ein Viertel: 28Pizza= 14Pizza, ja und alle 8 Achtel ergeben die ganze Pizza: 88Pizza=1Pizza.
Wichtig: Will man mit Bruchteilen rechnen, müssen alle gleichartigen Teile gleich groß sein:
Alle Achtel müssen gleich groß sein, alle Viertel, teilt man einen Liter Wasser in 6 Teile, müssen alle 6 Teile gleich groß sein, sonst darf man sie nicht
„Sechstel“ nennen !
1 8
5 8
3
8
Es gibt Brüche, die verschieden sind, aber gleich viel bedeuten!
Beispiel 3
Diese Schokoladentafel besteht aus 8 gleich großen Stücken.
Klaus zerbricht ihre Tafel in 8 Teile und isst davon 2, Maria zerteilt in 4 Teile und isst davon 1 Teil. Man sieht, dass beide dieselbe Menge Schokolade gegessen haben:
Wir schreiben daher: 82Schokolade=41Schokolade oder kurz: 28 =14.
ACHTUNG: Die Schreibweise 28 =14 heißt nicht, dass dies dieselben Brüche sind. Es sind verschiedene Brüche mit gleichem Wert !
Wie man sieht, sind auch 84= =24 12 !
Wir werden später lernen, wie man solche Brüche ineinander umrechnen kann.
Beispiel 4
Diese Tafel Schokolade kann man in 6 gleiche Reihen oder in 12 Stücke zerbrechen:
Man erkennt: 122 = 16 und darunter: 124 = =26 31
Dabei ist es egal, welche Teile man markiert. Auch das sind 124 :
Ja, und wer ein scharfes Messer hat, kann gar 24 Teile daraus machen, indem er jedes Stückchen nochmals zerteilt. Damit man aber selbst die 124 Schokolade behält, muss man sich nun das Doppelte nehmen, also haben wir
8 4 2 1
24=12= =6 3.
Bitte Nachdenken:
Wir haben gesehen, dass man ein Stück (Schokolade oder Pizza oder was auch immer) immer weiter zerteilen kann, man muss nur gleichzeitig immer mehr Stücke nehmen, damit man dieselbe Menge behält.
Schauen wir uns als letztes Beispiel dieses an;
Eine Tafel Edelsahne mit Himbeeraroma hat 4 Rippen und kann daher
leicht in 5 Teile zerlegt werden.
Ich gönne mir davon 2 Rippen, besitze also
2
5 dieser Tafel.
Zerteilt man die Tafel zusätzlich nochmals quer durch die Mitte, ergibt dies 10 Teile, und ich besitze nun 4 davon also: 104 . Ich könnte nun weiter zerbröseln und Jedes der 10 Teile nochmals in der Länge halbieren, dann komme ich auf 20 Teile.
Und bin stolzer Besitzer von 8 jetzt deutlich kleineren Teilen : 208 .
Ja, und wer meint, er habe noch eine Idee, könnte die ursprüngliche Tafel 2 mal quer durchschneiden, dann komme ich auf 156 . Es ist klar, dass mein Besitz an Schleckereien
immer derselbe bleibt, sehen wir vom zerbröselnden Abfall ab.
Also gilt: 2 4 6 8 ....
5 = 10 =15 = 20 =
Entdeckst Du auch, was rechnerisch passiert ?
Multipliziert man im ersten Bruch Zähler und Nenner mit 2, entsteht der 2. Bruch.
Multipliziert man im ersten Bruch Zähler und Nenner mit 3, entsteht der 3. Bruch.
Multipliziert man im ersten Bruch Zähler und Nenner mit 4, entsteht der 4. Bruch.
Wie müsste folglich der Zähler heißen: 2 ? 5 = 50
Hier wird der Nenner mit 10 multipliziert, also müsste dies auch im Zähler
geschehen: 2 20
5 = 50 . Oder: Wie muss der Nenner heißen ? 3 24
7 = ?
Der Zähler wurde mit 8 multipliziert, also rechnen wir genau so im Nenner: 3 24 7 = 56 . Was wir hier tun, nennt man ERWEITERN eines Bruches !
2. Training: Erweitern von Brüchen
MERKE:
Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.
Dabei ändert sich der Wert dieses Bruches nicht!
Mit der Zahl 0 darf man nicht erweitern.
Erweitern von 3
7 mit 5 ergibt 3 3 5 15 7 7 5 35
⋅
= ⋅ = Erweitern von 5
12 mit 4 ergibt 5 5 20 12 12
4 4
4 8
⋅ =
= ⋅
Erweitern von 150
39 mit 2 ergibt 150 150 2 300 39 39⋅⋅2 = 78
=
Erweitern von 1
512 mit 30 ergibt 1 1 30 30 512 512 30 15360
= ⋅ =
⋅ .
Grundaufgabe: Brüche auf denselben Nenner bringen !
Erweitere beide Brüche so, dass sie denselben Nenner erhalten.Warum gibt es viele Lösungen ?
2 4
3 und 5 .
Wenn man den ersten Bruch mit 5 erweitert und den zweiten mit 3,
dann folgt.
2 2 5 10 4 4 3 12
3 3 5 15 und 5 5 3 15
⋅ ⋅
= = = =
⋅ ⋅
Man kann auch mit dem Doppelten davon erweitern, also mit 10 und 6:
2 2 10 20 4 4 6 24
3 3 10 30 und 5 5 6 30
⋅ ⋅
= = = =
⋅ ⋅
Man kann auch mit dem Dreifachen davon erweitern, also mit 15 und 9:
2 2 15 20 4 4 9 36
3 3 15 45 und 5 5 9 45
⋅ ⋅
= = = =
⋅ ⋅
usw.
Berechnung der kleinsten gemeinsamen Nenners (=Hauptnenner)
Beispiel
Erweitere die Brüche 5 und 11
12 20 so, dass sie den kleinsten gemeinsamen Nenner erhalten.
Zwischenüberlegung
Schüler neigen dazu, das Produkt der beiden Nenner als kleinsten
gemeinsamen Nenner zu verwenden. Das stimmt nur in manchen Fällen.
Würde man hier als Hauptnenner 12 20⋅ =240 verwenden, dann sähe das Ergebnis so aus:
5 5 100 11 11 132
12 12 240 und 20 240
20 12
20 20 12
⋅ ⋅
= =
= = ⋅
⋅ .
Aber bereits 120 ist ein gemeinsamer Nenner von 12 und 20.
Man muss dazu den ersten Bruch mit 10 und den zweiten mit 6 erweitern:
5 5 50 11 11 66
1 un
12 12 120 d 2 12
0 6
0 0
10 20 6
= ⋅ = = ⋅ =
⋅ ⋅ .
Der kleinste gemeinsame Nenner, also das, was man als den Hauptnenner bezeichnet, ist jedoch nur 60. Dazu muss man den ersten Bruch mit 5 und den 2. mit 3 erweitern:
Wenn man bedenkt, dass ein gemeinsamer Nenner ja ein Vielfaches der beiden gegebenen Nenner ist, denn man muss ja jeden von ihnen durch Multiplikation in diesen Hauptnenner überführen, dann wird klar, dass der Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner ist !
Die Berechnung dieses kgV wurde in der Datei 10216 „Teilbarkeit“
besprochen. Hier gibt es dazu nochmals einige Beispiele.
MERKE:
Unter dem Hauptnenner von Brüchen versteht man den kleinsten gemeinsamen Nenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Einzelnenner.
5 5 25 11 11 33
12 12 60 und 20 0 60
5 3
5 2 3
= ⋅
= ⋅ =
⋅ =
⋅
Beispiele zur Grundaufgabe
Erweitern zum Hauptnenner
Methode 1 Bringe 2
7 und 5
3 auf den Hauptnenner.
Merkmal: Die Nenner 7 und 3 haben keine gemeinsamen Teiler.
Damit ist das kleinste gemeinsame Vielfache ihr Produkt: 21
2 2 6
7 7 3
21 3
⋅
= ⋅ = und 5 5 7 35 3 3 7 21
⋅
= ⋅ =
Hinweis: Alle Zahlen haben den gemeinsamen Teiler 1, doch der ist hier stets unbrauchbar und wird weggelassen.
Methode 2: Bringe 2
7 und 5
14 auf den Hauptnenner.
Merkmal: Der große Nenner 14 ist ein Vielfaches des kleineren.
Damit ist der größere das kleinste gemeinsame Vielfache: 14
2 2 4
7 7 2
14 2
⋅
= ⋅ = und 5
14 (bleibt so).
Methode 3:
a) Bringe 2
21 und 5
14 auf den Hauptnenner.
Merkmal: Die Nenner 7 und 3 haben gemeinsamen Teiler.
Damit ist das kgV kleiner als ihr Produkt!
Methode:
Man zerlegt die beiden Nenner in Primfaktoren:. Man schreibt aber stets nur gleiche untereinander.
Das Produkt aller Spalten ist das kgV.
Die fehlenden Zahlen bilden die Erweiterungszahlen.
Also ist der Hauptnenner 42, und den Bruch mit dem Nenner 21 muss man mit 2, den mit dem Nenner 14 mit 3 erweitern:
2 2 4
21 2 2
2
1 42
⋅
= ⋅ = und 5 5 15
14 14 3
4
3 2
⋅ =
= ⋅ . N
21
EZ 2 EZ 3 21 7 3
14 7 2 kgV 7 3 2 42
=
=
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ =
Diese drei Methoden muss man auswendig lernen:
Man muss zuerst erkennen, welches Merkmal vorliegt, dann wird die passende Methode angewandt !
b) Bringe 11
54 und 5
81 auf den Hauptnenner.
Merkmal: Die Nenner 54 und 91 haben gemeinsamen Teiler.
Primfaktorzerlegung:
Ich zeige hier, wie man zuerst beide Nenner in ein Produkt „zerkleinert“ um dann daraus die Primfaktoren aufzuspüren.
Man kann aber auch zuerst ein anderes Produkt entdecken, etwa, dass beide Zahlen Vielfache von 90 sind, dann sieht die PFZ so aus:
Man achte stets darauf, dass immer nur gleiche Primfaktoren untereinander
stehen !
Jetzt ist zwar die Reihenfolge der Primfaktoren anders, aber das Ergebnis ist davon unabhängig.
Abkürzende Methode
Für gute Rechner (Schüler der Klasse 6 sind damit oft überfordert) kann man diese Methode der PFZ abkürzen. Ich zeige hier die Kurzform einmal richtig und einmal falsch:
Im ersten Kasten habe ich beide Nenner in Vielfache von 27 zerlegt, und die Faktoren zu 27 sind 2 und 3 und damit teilerfremd.
Daher ist der HN ihr Produkt also 2⋅ ⋅3 27.
Im zweiten Kasten habe ich beide Nenner in Vielfache von 9 zerlegt, und die Faktoren zu 9 sind 6 und 9. Diese haben aber den gemeinsamen Teiler 3, daher darf man nicht ihr Produkt verwenden. 6⋅ ⋅9 9 ist nicht der Hauptnenner.
Ich zeige im Anschluss noch drei Beispiele für PFZ, einmal ausführlich und einmal mit der Kurzmethode, die ich älteren Schülern nahe lege !
81
54 2 27 2 3 3 3 81 3 27 3 3 3 3 HN kgV
EZ 3 EZ 2 2 3 3 3 3 162
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅ ⋅ =
=
= ⋅
54
54 9 6 3 3 2 3 81 9 9 3 3 3 3 HN kgV 3 3 2 3 1
EZ 3 EZ 2 3 62
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
N
81
EZ 3 EZ 2 54 2
81 3
HN 2 3 1
27 2
6 7
27 2
= ⋅
= ⋅
= ⋅ =
=
⋅
=
N
81
EZ 9 EZ 54 6
81 9
HN 6 9 48
6 9
9
9 6
= ⋅
= ⋅
= ⋅ =
=
⋅
=
c) Bringe 7
24 und 13
56 auf den Hauptnenner.
Primfaktorzerlegung: Schnellmethode:
Bei der Schnellmethode muss ich den größten gemeinsamen Teiler finden: 8, so dass seine Vielfachen 3 und 7 teilerfremd sind. Dann ist deren Produkt zusammen mit der 8 der HN !
7 7 49
24 24 7 1 86
⋅7
= =
⋅ und 13 13 19
56 56 3 1 86
⋅3
= =
⋅ d) Bringe 49
108 und 7
60 auf den Hauptnenner.
Primfaktorzerlegung: Schnellmethode:
In der Schnellmethode verwendet man den ggT 12 und hat dann die teiler- fremden Faktoren 9 und 5!
Es folgt: 49 49 245
108 10 5 5 04 5
8
= ⋅ =
⋅ und 7 7 63
60 60 9 5 04
⋅9
= =
⋅ .
e) Bringe 49
72 und 25
96 auf den Hauptnenner.
Primfaktorzerlegung: Schnellmethode:
In der Schnellmethode verwendet man den ggT 24 und hat dann die teiler- fremden Faktoren 3 und 4!
Es folgt: 49 49 196
72 72 4 2 8 4
8
= ⋅
⋅ = und 25 25 75
96 96 3 2 88
⋅3
= =
⋅ .
24
24 4 6 2 2 2 3 56 7 8 2 2 2 7 HN kgV 2 2 2 3 1
EZ 7 EZ 3 7 68
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
EZ 7 E 24 3
56 7 8
Z 168 8
3 7 8
3 HN
==
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ =
108
108 9 12 3 3 3 2 2 60 5 12 3 2 2 5 HN kgV 3
EZ 3
5 3 2 2 5 54
EZ 0
9
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
=
12 12
EZ 5 EZ 9 108 9
60 5
HN 9 5 12 540
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ =
==
24 24
EZ 4 EZ 72 3
96 4
HN 3 288
3 4 24
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ =
==
72
72 9 8 3 3 2 2 2 96 8 12 3 2 2 2 2 2
HN kgV
EZ 4 EZ 3 288 3 3 2 2 2 2 2
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
=
Anwendung: Vergleichen von Brüchen
Musteraufgabe:
Welcher Bruch ist größer : 17
36 oder 23 42 ? Überlegung: Stellen wir uns eine große Schokoladetafel vor.
Zerteilen wir sie in 36 Teile, dann sind diese sicher größer, als bei einer Zerteilung in 42 Teile. Denn mehr Teile bedeutet, dass sie kleiner werden. Dafür nehmen wir aber statt 17 dann 23.
Wo hat man mehr: Bei 17 von 36Teilen oder bei 23 von 42 Teilen ? Methode: Um vergleichen zu können, bringen wir beide Brüche auf den Hauptnenner!
Lösung: Primfaktorzerlegung: Schnellmethode:
In der Schnellmethode verwendet man den ggT 6 und hat dann die teiler- fremden Faktoren 6 und 7, also ist der Hauptnenner das 42-fache von 6.
Nun die Lösung der Aufgabe: 17 17 119 36 36 7 2 2
7 5
= ⋅
⋅ = , 23 23 138
42 42 6 2 2 6
5
= ⋅
⋅ = .
Ergebnis: 17 138 36 < 42 !
Erweiterte Aufgabenstellung:
Hauptnenner von 3 Brüchen Musteraufgabe:
Ordne diese Brüche der Größe nach: 17 64 , 21
80 und 13 48
Methode: Um vergleichen zu können, bringen wir alle Brüche auf den Hauptnenner!
Lösung: Primfaktorzerlegung: Schnellmethode:
15 1 1
5
7 255
64⋅ = 960
⋅ , 12
1 2
2
1 252
80⋅ = 960
⋅ und 20
2 1
0
3 260
48⋅ = 960
⋅ .
Ergebnis: 8021< 1765 < 1348 !
36
36 9 4 3 3 2 2
42 6 7 3 2 7
HN kgV
EZ 7 EZ 6 25 3 3 2 2 7 2
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
= N
42
EZ 7 EZ 36 6
42 7 HN
6 6
6
6 7 252 6
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ =
==
6
64
5 3
2 2 3
2 2 5
64 2 (! EZ 15
EZ 12 ) 2 2 2 2 2 2
80 8 10 2 2 2 2 5
48 8 6 2 2 2 2 3
HN kgV 2 2 2 2 2 2 5
Z 3
E 6
0 9
2 0
⋅
⋅
⋅ ⋅
= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
=
60
64 4
80 5
48 3
1
HN 4 5 6 16 16 16
EZ 15 EZ 12 EZ 20
960 3
==
=
= ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ =
Aufgabenblatt
Aufgabe 1
Erweitere und ergänze den fehlenden Zähler bzw. Nenner
a) 5 ?
8 = 48 b) 5 ?
36 = 180 c) 7 ? 15 = 135
d) 5 85
12 = ? e) 21 105
25 = ? f) 27 81 17 = ?
Aufgabe 2
Bringe diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner)
a) 3 und 1
8 3 b) 1 und 3
2 5 c) 3 und 11
11 12
d) 3 und 11
4 36 e) 7 und 1
9 144 f) 17 und 15
64 16
g) 3 und 1
4 6 h) 3 und 5
8 12 i) 9 und 12
14 35
j) 8 und 2
27 45 k) 7 und 7
4 22 l) 4 und 7
9 42
Aufgabe 3
Welcher Bruch ist größer ? Berechne die Hauptnenner ausführlich ! a) 17 oder 19
36 42 b) 7 oder 47
48 108 c) 25 oder 45
32 52
d) 57 oder 81
125 175 e) 14 oder 23
135 180 f) 131 oder 101
240 168
Aufgabe 4
Ordne diese Brüche der Größe nach:
a) 5 , 7 und 11
8 12 18 b) 13 , 19 und 27
10 15 20
c) 11 , 13 und 19
24 30 40 d) 25 , 39 und 59
54 81 135
3. Training: Kürzen von Brüchen
MERKE:
Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert.
Dabei ändert sich der Wert dieses Bruches nicht!
Mit der Zahl 0 kann man nicht kürzen.
Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns !
Erweitern: Umkehrung: Kürzen:
Erweitern von 3
7 mit 5 Kürzen von 15
35 durch 5 ergibt 3 3 5 15
7 7 5 35
⋅
= ⋅ = ergibt 15 : 5
35 :
15 3
35 = 5 = 7
Erweitern von 5
12 mit 4 Kürzen von 20
48 durch 4 ergibt 5 5 20
12 12 4
4
4 8
⋅ =
= ⋅ ergibt 20 20: 4 5
48 = 48: 4 =12
Erweitern von 150
39 mit 2 Kürzen von 300
78 durch 2 ergibt 150 150 2 300
39 39⋅⋅2 = 78
= ergibt 300 300: 2 150
78 = 78:2 = 39
Erweitern von 1
512 mit 30 Kürzen von 30
15360 durch 30
ergibt 1 1 30
512 512 30
30 15360
= ⋅ =
⋅ ergibt 30 30 1
15360 1
: 30 : 30
5360 512
= =
Kürzen verkleinerst also Zähler und Nenner eines Bruches (wenn man nicht den sinnlosen Versuch unternimmt, durch 1 zu kürzen, was ja gar nichts verändert). Das zeigen noch einmal folgende Grafiken:
durch16 kürzen
mit16 erweiten
48 3
32←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→2
durch 7 kürzen
mit 7 erweiten
28 4
35←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→9
durch 13 kürzen
mit 13 erweiten
51 3
68←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 4
Was die Erfahrung zeigt:
Man erkennt oft nicht, durch welche Zahl man kürzen kann. Daher beginnt man mit kleinen Zahlen und kürzt mehrfach nacheinander:
72 2
96 = 36 2
⋅ 4
48 =
⋅
9 4
⋅ 3
12 =
⋅
3 3
⋅ 3
4 = 4
⋅
Manche können dies schneller und rechnen vielleicht so:
72 6 12 96
= ⋅ 8 12⋅
= 2 3 2
⋅ 3
4 = 4
⋅
Es gibt weitere Möglichkeiten. Das Ziel ist es auf jeden Fall, immer so weit wie möglichst zu kürzen. Da man immer nur durch gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner kürzen kann, ist es natürlich optimal, den ggT, also den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen und durch ihn zu kürzen.
Wiederholung aus 10210 (Teilbarkeit):
Berechnung des ggT durch Primfaktorzerlegung:
Man zerlegt Zähler und Nenner in Primfaktoren, schreibt aber
nur gleich untereinander. Und genau diese gemeinsamen Primzahlen bilden den GGT, durch den man kürzt.
Die Primzahlen, die nicht zum ggT gehören (in ), ergeben den Faktor F , der nach dem Kürzen in Zähler bzw. im Nenner stehen bleibt!
Musterbeispiele für das optimale Kürzen bei größeren Zahlen
Beispiel 1
540378 540 540 : 54 378 378
0 : 54
1
= = 7
Der neue Nenner, der aus 378 durch Kürzen mit 54 entsteht, ist die markierte 7 und der neue Zähler, der aus 540 durch Kürzen entsteht, ist die markierte 10.
Beispiel 2
192216
Rechne selbst ! 72 8 9 2 2 2 3 3
96 8 12 2 2 2 3 2 2
ggT 2 2 2 3 8 3 2
F
4 3 F 4
=
=
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
540 10 54 10 9 6 2 5 3 3 2 3 378 2 189 2 9 21 2 3 3 3 7
ggT 2 3 3 3 2 27
F 10 F
54 7
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
=
= =
=
Also ist 192 192 : 24 8 216 = 216 : 24 = 9
. Beispiel 3
252420
252 252 : 84 3 420 = 420 : 84 = 5
Beispiel 4
136306
136 136 : 34 4 306 = 306 : 34 = 9
AUFGABE 5
Kürze auf einfache Weise:
a) 26
39 b) 24
40 c) 42
84 d) 81 45
e) 72
54 f) 81
54 g) 42
56 h) 63 108
i) 75
225 j) 48
102 k) 49
84 l) 96 128
AUFGABE 6
Kürze durch den ggT wie in Beispiel 1 bis 4.
a) 126
216 b) 126
168 c) 140
196 d) 162 153
e) 180
84 f) 108
180 g) 336
192 h) 343 245 192 2 96 2 8 12 2 2 2 2 2 2 3
216 2 108 2 9 12 2 2 2 3 3 3 gg
F 8 F 9
T 2 2 2 3 8 3 24
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
252 2 126 2 9 14 2 3 3 2 7 420 10 42 10 6 7 2 5 3 2 7
ggT 2 3 2 7 12 7 8
F 3 F
4 5
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
=
⋅ =
=
136 2 68 2 2 34 2 2 2 17 306 2 153 2 9 17 2 17 3
F 3 ggT
4 F
2 17 3
9 4
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
⋅
= =
=
Masseneinheiten:
Volumen:
Längeneinheiten:
Zeiteinheiten:
4. Training: Bruchteile von Maßeinheiten
1. GRUNDWISSEN
1kg = 1000 g, d.h. 101 kg=100 g, 1001 kg=10 g, und 10001 kg=1 g 1 t = 1000 kg , d.h. 101 t=100 kg,1001 t=10 kg, und 10001 t=1kg 1 g = 1000 mg, d.h. 101 g=100 mg,1001 g=10 mg, und 10001 g=1mg
1kg=1.000.000 mg, d.h. 1.000.0001 kg=1 mg usw.
1hl=100 l, d.h. 101 hl=10 l, 1001 hl=1l
1l=1000 ml, d.h. 101 l=100 ml,1001 l=10 ml, und 10001 l=1ml 1l=100 ml, d.h. 101 l=10 dl und 1001 l=1 dg
1l=1 dm3, 1m3=1000 dm3=1000 l ⇒ 101 m3=100 l und 1001 m3=10 l Daher ist auch 1ml=1cm3 und 1.000.0001 m3=1cm3 =1ml
1km = 1000 m, d.h. 101 km=100 m, 1001 km=10 m, und 10001 km=1m 1 m = 1000 mm , d.h. 101 m=100 mm,1001 m=10 mm, und 10001 m=1mm
1 m = 100 cm, d.h. 101 m=10 cm,1001 m=1cm, und 101 cm=1mm
1 1
10 100
1 dm=10 cm=100 mm ⇒ dm=1cm und dm=1mm,
1h=60 min, d.h. 601 h=1min
1
1min=60 s d.h. 60min=1 s
1
1h=3600 s, d. h. 3600h=1 s
2. Einstufige Rechnungen:
(1) Mengen:
1
2kg=1000 g : 2=500 g, 14kg=1000 g : 4=250 g
1
8kg=1000 g : 8=125 g 14t=1000 kg : 4=250 kg
1
10g=1000 g : 10=100 mg 1001 g=1000 kg : 100=10 mg
1
8t=1000 kg : 8=125 kg 10.0001 t=1.000.000 g : 10.000=100 g (2) Volumen
1
4l=1000 ml : 4=250 ml 18l=1000 ml : 8=125 ml
1 3
8m =1000 l : 8=125 l 201 l=100 dl : 20=5 dl=50 ml (3) Längeneinheiten
1
4km=1000 m : 4=250 m 12dm=5 cm
1
2cm=5 mm 10.0001 km=100 m
(4) Zeiteinheiten
1
3 von 1h=60 min : 3=20 min 16 von 1h=60 min : 6=10 min
1
30 von 1h=60 min : 30=2 min 14 von 1min=60 s : 4=15 s
1
100 von 1h=3600 s : 100=36 s 721 von 1h=3600 s : 72=50 s
Diese Aufgaben sind die Grundlagen für die nun folgenden schwereren Aufgaben.
Man sollte sie im Kopf lösen können !
3. Zweistufige Rechnungen:
(1) Mengen
3 1 N
4 4
14kg
kg=3⋅ kg=250 g 3⋅ =750 g
5 1 N
8 8
81kg
kg=5⋅ kg=125 g 5⋅ =675 g
7 1
8 8
81t
t=7⋅ t=125 kg 7⋅ =875 kg
9 1
8 8
18t
t=9⋅ kg=125 kg 9⋅ =1125 kg
7 1
10 10
101g
g=7⋅ g=100 mg 7 ⋅ =700 mg
3 1
100g=3⋅100g=10 mg 3⋅ =30 mg (2) Volumen
3 8
1 8l
l=125 ml 3⋅ =375 ml
3 N
10
101l
hl=10 l 3⋅ =30 l
3 3
3
1000m =3 dm =3 l
3
100l=1000 ml : 100 3⋅ =30 ml
6
10hl=100 l : 10 6⋅ =60 l
9 1
25 l=9⋅25l=9 40 ml⋅ =360 ml (3) Längeneinheiten:
7 8
18m
m=125 mm 7 ⋅ =875 mm
3
4km=250 m 3⋅ =750 m
( )
9 1
125m=9⋅125 m=9 1000 mm : 125⋅ =9 8 mm⋅ =72 mm !!
(4) Zeiteinheiten
5 1
12h=5⋅12h=5 5 min⋅ =25 min
17 1
20min=17⋅20min=17 3 s⋅ =51 s
( )
11 1
90h=11⋅90h=11 3600 s : 90⋅ =11 40 s⋅ =440 s !!
In der ersten Stufe wird bei 34kg zuerst 14kg=1000 g : 4=250 g berechnet.
In der zweiten Stufe nimmt man dann davon das dreifache.
4. Dreistufige Rechnungen:
(1) Mengen
a) 34 von 5 kg ( Oberer Weg im Ablaufschema )
1. Stufe: Berechne 14 von 1kg= 14 von 1000 g=250 g 2. Stufe: Dann sind 34 von 1kg=3 250 g⋅ =750 g
3. Stufe: Dann sind 34 von 5 kg=5 750 g⋅ =3750 g=3 kg 750 g ACHTUNG: Man kann die 2. und 3. Stufe auch vertauschen:
3
4 von 5 kg ( Unterer Weg im Ablaufschema )
1. Stufe: Berechne 14 von 1kg= 14 von 1000 g=250 g 2. Stufe: Dann sind 14 von 5 kg=5 250 g⋅ =1250 g
3. Stufe: Dann sind 34 von 5 kg=3 1250 g⋅ =3750 g=3 kg 750 g
Grundprinzip ist es auf jeden Fall, die Aufgabe zuerst doppelt zu vereinfachen:
Man geht zurück auf 14 von 1 kg und gleicht dies am Ende dadurch aus, dass man für 34 das Dreifache und für 5 kg das Fünffache verwendet.
Daher kann man dann die Rechnung so in einem Schritt durchführen:
( )
N3 1
4 4
15
von 5 kg= von 1kg 3 5⋅ ⋅ =250 g 15⋅ =3750 g=3 kg 750 g 1kg 14 250 g
3
4 also 3⋅ 750 g
1250 g 5 kg also 5⋅
3750 g Ablaufschema für eine dreistufige Rechnung :
5 kg also 5⋅
3
4 also 3⋅
b) 58 von 30 g ( Oberer Weg im Ablaufschema )
1. Stufe: Berechne 81 von 1 g= 18 von 1000 mg=125 mg 2. Stufe: Dann sind 58 von 1 g=5 125 mg⋅ =625 mg
3. Stufe: 58 von 30 g=30 625 mg⋅ =18750 mg=18 g 750 mg ACHTUNG: Man kann die 2. und 3. Stufe auch vertauschen:
( Unterer Weg im Ablaufschema )
1. Stufe: Berechne 81 von 1 g= 18 von 1000 mg=125 mg 2. Stufe: Dann sind 81 von 30 g=30 125 g⋅ =3750 g
3. Stufe: 58 von 30 g=5 3750 mg⋅ =18750 mg=18 g 750 mg
Auch gehen wir so vor, dass wir zunächst zweimal vereinfachen:
Wir berechnen 81 von 1 g und multiplizieren dann mal 5 für 58 und mit 30 für 30 g. Damit kann man die Rechnung in einem Rutsch so durchführen:
( )
N ( )5 1
8 8
150
von 30 g= von 1 g 5 30⋅ ⋅ = 125 mg 150⋅ =18750 mg=18 g 750 mg c) 207 von 11 t:
Kurzlösung:
( )
N7 1
20 20
77
von 11 t= von 1 t 7 11⋅ ⋅ =50 kg 77⋅ =3850 kg=3 t 850 kg 1 g 18 125 mg
5 8
625mg
3750mg 30 g
18750 mg
5 8
30 g
1 t 201 50 kg
7 20
350kg
550kg 11 t
3850 kg
7 20
11 t
(2) Volumen
a) 38 von 5 l=
(
18 von 1l 3 5)
⋅ ⋅ =125 ml 15⋅ =1875 ml=1l 875 mlOder in zwei Schritten:
b) 207 von 5 m3 =
(
201 von 1m3)
⋅ ⋅7 5=50 dm 353⋅ =1750 dm3(3) Streckenlängen
a) 74 von 3 km=
(
14 von 1km 7 3)
⋅ ⋅ =250 m 21⋅ =5250 m=5 km 250 m oder bei Berechnung in zwei Schritten:b) 253 von 8 m=
(
251 von 1m 3 8)
⋅ ⋅ =4 cm 24⋅ =96 cm(4) Zeiteinheiten:
a) 32 von 7 h=
(
13 von 1h 2 7)
⋅ ⋅ =20 min 14⋅ =280 minb) 52 von 9 min=
(
51 von 1min 2 9)
⋅ ⋅ =12 s 18⋅ =216 s 1l 18 125 ml3 8
375 ml
625 ml 5 l
1875 ml
3 8
5 l
1km 14 250 m
7 8
750 m 1750m
3 km
5250 m
7 8
3 km
1min 15 12 s
2 5
24 s
108 s
9 min 25
216 s 9 min
5 . Dreistufige Rechnungen mit Zahlenvorteil
ES GIBT AUFGABEN, BEI DENEN MAN EINE STUFE AUSLASSEN KANN ! (1) Mengen
a) 58 von 200 g
Hier muss man nicht zuerst 18 von 1 g berechnen ! Da man 200 ohne Rest durch 8 teilen kann, lässt sich 81 von 200 g sofort berechnen: 25 g.
Daher geht die Rechnung z. B. so:
1. Stufe: Berechne 81 von 200 g=25 g
2. Stufe: Dann sind 58 von 200 g=5 25 g⋅ =125 g !!!
Kurzrechnung: 58 von 200 g=
(
81 von 200 g 5)
⋅ =25 g 5⋅ =125 g b) 74 von 12 kg Man kann 12 durch 4 teilen, also:1. Stufe: Berechne 14 von 12 kg=3 kg
2. Stufe: Dann sind 74 von 12 kg=7 3 kg⋅ =21kg Kurzrechnung: 74 von 12 kg=
(
14 von 12 kg 7)
⋅ =3 km 7⋅ =21kg (2) Streckena) 56 von 30 km
Da man 30 ohne Rest durch 6 teilen kann, lässt sich 16 von 30 km sofort berechnen: 5 km ! Daher geht die Rechnung z. B. so:
( )
5 1
6 von 30 km= 6 von 30 km 5⋅ =5 km 5⋅ =25 km
b) 157 von 450 m Man kann 450 durch 15 teilen, also rechnet man so:
( )
7 1
15 von 450 m= 15 von 450 m 7⋅ =30 m 7⋅ =210 m
c) 307 von 6 m Man kann 6 nicht durch 30 teilen, also wandelt man 6 m in 600 m um. Nun kann man aber 600 m durch 30 teilen:
( )
7 1
30 von 6 m= 30 von 600 cm 7⋅ =20 cm 7⋅ =140 cm=1m 40 cm d) 125 von 7 km 200 m Man kann 7200 m durch 12 teilen:
1. Stufe: Berechne 121 von 7200 m=600 m
2. Stufe: Dann sind 125 von 7200 m=5 600 m⋅ =3000 m=3 km
( )
5 1
12 von 7 km 200 m= 12 von 7200 m 5⋅ =600 m 5⋅ =3000 m=3 km
Toll !
(3) Zeiteinheiten a) 138 von 26 h
Hier muss man nicht zuerst 131 von 1 h berechnen ! Da man 26 ohne Rest durch 13 teilen kann, lässt sich 131 von 26 km sofort berechnen: 2 h ! Daher geht die Rechnung z. B. so:
1. Stufe: Berechne 131 von 26 h=2 h
2. Stufe: Dann sind 138 von 26 h=8 2 h⋅ =16 h !!!
Kurz: 138 von 26 h=
(
131 von 26 h 8)
⋅ =2 h 8⋅ =16 hd) 45 von 40 min
Man stellt zuerst fest, dass 40 : 5=8 ist:
( )
4 1
5 von 40 min= 5 von 40 min 4⋅ =8 min 4⋅ =32 min e) 1511 von 3 h
Jetzt muss man erkennen, dass 3 h = 180 min durch 15 teilbar ist:
( )
11 1
15 von 3 h= 15 von 180 min 11⋅ =12 min 11⋅ =132 min f) 3029 von 5 min
( )
29 1
30 von 5 min= 30 von 300 s 29⋅ =10 s 29⋅ =290 s=4 min 50 s
Aufgabe 7 Berechne in einer kleineren Einheit
a) 74kg b) 1725t c) 2350g d) 10003 t
e) 52 von 13 kg f) 118 von 4 t g) 34 von 17 g (e bis g mit 3 Stufen !!!)
Aufgabe 8 Berechne in derselben Einheit
a) 32 von 600 g b) 74 von 280 kg c) 59 von 36 t
Aufgabe 9 Verkürzte Rechnungen
a) 45 von 12 km b) 118 von 2 m c) 1720 von 3 dm d) 47 von 140 m e) 34 von 500 km f) 29 von 81cm g) 135 von 2 m 60 cm h) 163 von 2 km (in m)
i) 1340 von 10 km j) 307 von 6 m (in cm)
Aufgabe 10
a) 53h b) 125 min
c) 305 h d) 6001 h
Aufgabe 11
a) 154 von 20 min b) 76 von 14 min c) 1720 von 2 h d) 34 von 3 h 24 min e) 107 von 8 h f) 113 von 121h g) 185 von 30 min h) 274 von 9 h
5. Training: Gemischte Zahlen
Einführung:
Wir können Ganze und Brüche zusammenfassen:
Unser Rechenwerkzeug ist wieder die Bruchschokolade von der Firma Mathegut:
Das sind 1 Tafel und eine halbe Man könnte dies so schreiben:
1 1
+ 2 oder kürzer 11 2 . Und hier haben wir
1 1
2 2
4 4
+ =
Dann 4 3 43
4 4
+ = .
Ganze in Brüche zerteilen:
Hier haben wir 11
2 Tafeln.
Zerteilen wir die ganze Tafel in 2 halbe Tafeln: 1 2
= 2 , dann besitzen wir insgesamt 11 3
2 = 2 Tafeln ! Oder diese 21
4 Tafeln.
Zerlegen wir jede ganze
Tafel in 4 Viertel, dann ergeben die 2 ganzen Tafeln zusammen 8 Viertel, also gilt: 2 1 8 1 9
4 = 4 + 4 = 4
Wir rechnen; 2 4⋅ +1, also ausführlich: 2 1 2 4 1 9
4 4 4
⋅ +
= = . Jetzt liegen 45
8 Tafeln auf dem Tisch.
Wir zerlegen jede Tafel in Achtel;
Dann erhalten wir insgesamt 4 8⋅ + =4 32+ =5 37 Achtel!
5 4 8 5 37
48 8 8
⋅ +
= =
Hier noch vier Beispiele ohne Abbildungen:
a) 7 5 7 12 5 84 5 89
12 12 12 12
⋅ + +
= = = ,
denn wenn ein Ganzes aus 12 Teilen besteht, dann bestehen 7 ganze aus 7 12⋅ =84 Teilen. Dazu kommt der der Rest 5 Zwölftel.
b) 3 4 3 11 4 37
11 11 11
⋅ +
= =
c) 1219 12 25 19 300 19 319
25 25 25 25
⋅ + +
= = =
d) 14 5 14 14 5 196 5 201
14 14 14 14
⋅ + +
= = =
Merke: Ist der Zähler eines Bruches größer als sein Nenner, dann Spricht man von einem unechten Bruch.
Die Umkehrung:
Unechte Brüche enthalten zerbrochene Ganze !
Wir sollen den unechten Bruch in eine gemischte Zahl zurückverwandeln:
35
8 enthalten 3 ganze (Tafeln Schokolade oder was auch immer), nämlich aufgeteilt in 4 8 32
8 8
⋅ = , bleiben als Rest 3
8 . Daraus erkennt man die
Rechenmethode
35 3
8 =48 , denn 35 : 8 = 4 (Ganze) Rest 3 (Achtel)
41 5
12 =312 , denn 41 : 12 = 3 (Ganze) Rest 5 (Zwölftel)
64 4
5 =125 , denn 64 : 5 = 12 (Ganze) Rest 4 (Fünftel) 153 10
13 =1113 , denn 153 : 13 = 11 (11 13⋅ =143) Rest 10 (Dreizehntel)
Noch eine Bemerkung:
Bei manchen Rechnungen können Ergebnisse auftreten, die so aussehen, wie 35
4 oder 723
8 . Hier steht hinter der ganzen Zahl ein unechter Bruch.
Wenn dies passiert, muss man aus dem unechten Bruch noch die Ganzen herausziehen:
Beispiele:
5 5 1 1
3 3 3 1 4
4 = + 4 = + 4 = 4
23 23 7 7
7 7 7 2 9
8 = + 8 = + 8 = 8
12 2 2
8 8 2 10
5 = + 5 = 5
Die Zwischenschritte darf man weglassen, also so:
3 1
4 5
2 = 2 oder 27 4 1
3 = 3 oder 1214 13 1 13 = 13 .
Aufgabe 12
Verwandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche:a) 7 3
4 b) 111
2 c) 63
5 d) 117 8
e) 413
25 f) 12 7
15 g) 82
9 h) 9 25 27
Aufgabe 13
Verwandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche:a) 13
4 b) 51
2 c) 13
5 d) 57
8
e) 413
25 f) 75
15 g) 92
9 h) 245 27
Aufgabe 14
Schreibe die gemischten Zahlen korrekt an:a) 7 7
4 b) 215
2 c) 711
5 d) 1415 8
e) 2413
5 f) 1227
15 g) 4818
9 h) 19100 27
Nur auf der Mathe-CD
