Abschlussprüfung 2014 Nachtermin an zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen

(1)

an zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen

Prüfungsfach: Mathematik

Prüfungstag: Dienstag, 23. September 2014 Arbeitszeit: 180 Minuten

Notenschlüssel und Lösungsvorschlag

Punkte Note

100 – 86 = 1

85 – 71 = 2

70 – 56 = 3

55 – 41 = 4

40 – 20 = 5

19 – 0 = 6

(2)

Lösungsvorschlag: 1 Finanzmathematik

1.1 A=320 000⋅1,046²⁹⋅(1,046−1)

1,046²⁹−1 =20 202,63 € K₁₀=320 000⋅1,046¹⁰−20 202,63⋅

(

1,046¹⁰−1

)

1,046−1 =252 314,01 €

3

1.2

Tilgungsrate: T=252 314

19 =13 279,68 €

A1 = T + Sondertilgung + Z1 = 13.279,68 + 7.500 + 6812,48 = 27.592,16 € Jah

r Restschuld Zinsen Tilgung Annuität

regulär Sondert.

1 252.314 € 6.812,48 € 13.279, 68 € 7.500 € 27.592,16 € 2 231.534,32 € 6.251,43 13.279, 68 € 7.500 € 27.031,11 €

3

1.3 T=K₀

n ⇒ n=K₀

T =252 314

13 279,68+7500=12,14

(Insgesamt 22,14 Jahre)

2

1.4 0=252 314⋅1,023ⁿ−17 661,98⋅

(

1,023ⁿ−1

)

0,023 _| ¿0,023 _|

−17 661 , 98

−17 661,98=1,023ⁿ⋅

(

_{5 803}_,_{22−17 661}_,₉₈

)

_| :(−11 858,76) _{| lg}

lg 1, 4894=n ⋅lg1, 023

| : lg1,023

n= lg 1, 4894

lg 1, 023 =17 ,52

(Insgesamt 27,52 Jahren)

5

1.5 _R

0 = r ∙ qⁿ– 1

qⁿ ∙ (q – 1) = 4.000 ∙ 1,02¹⁰ – 1

1,02¹⁰ ∙(1,02 – 1) = 35.930,34 € Er sollte die Einmalzahlung nehmen.

3

1.6 K 'n = K0∙ qⁿ– r ∙ q ∙ qⁿ– 1

q – 1 <=> 20.000 = 40.000∙1,02¹⁵– r ∙ 1,02 ∙1,02¹⁰– 1 1,02 – 1 20.000 = 53.834,73 – r ∙ 11,17

r = 3.029,42 €

4

(3)

Lösungsvorschlag: 2 Folgen und Reihen

2.1 Laufstrecke 11.Tag = 2 · (Laufstrecke 5.Tag)

a1 + 10 · 400 = 2 · (a1 + 4 · 400) 800 = a1

3

2.2 sn = 198.000 m

198000 = · [2 · 800 + (n – 1) · 400]

0 = 400n² + 1200n – 396000 |:400 0 = n² + 3n – 990

n1,2=

n1= 30 n2= – 33 (entfällt)

5

2.3 an = 21097,5 m

21097,5 = 800 + (n – 1) · 400 51,74 = n

Am 52. Trainingstag legt er erstmals die Halbmarathonstrecke zurück.

3

2.4 q = 1,35 g1 = 150 n = 8

g7 = 150 · 1,35^7-1= 908,02 (Ausdehnung des Algenteppichs im Sept. 2013) g8 = 150 · 1,35^8-1= 1225,82 (Ausdehnung des Algenteppichs im Okt. 2013) g8 – g7 = 1226,82 – 908,02 = 317,81 m² Algenwachstum im Oktober 2013

3

2.5 n = 15 ; A = 15 ha = 150.000 m² (Gesamtfläche A des Sees) g15 = 150 · 1,35^15-1= 10.017,61 m²

10.017,61 : 150.000 = 0,0668

Im Mai 2014 sind bereits 6,68 % der Gesamtfläche des Sees bedeckt.

3

2.6 g1 = 50.000 · 5 % = 2500, d.h. die Fläche nach der ersten Nutzung des Algenmähers ist g1 = 50.000 – 2.500 = 47.500 m² groß. gn = 150

g_n = g₁ ∙ q^n–1  150 = 47.500 ∙ 0,95^n–1 n = 113,25

Es wird ca. 113 Tage dauern, bis der Algenteppich nur 150 m² groß ist.

3

(4)

Lösungsvorschlag: 3 Trigonometrie

3.1 cos α = ^BH^´ ^e

2+ ´BBr2

–Br´He2

2∙BH´ _e²∙ BB´ _r² =3300²+3320²–4818²

2∙3300∙3320  α = 93,40° 3 3.2 α‘ = 180° – α = 86,6°

H_o´B_r²= ´BH_o²+ ´BB_r²–2∙BH´ _o²∙ BB´ _r²∙cosα '

H_o´B_r² = 1929² + 3320² – 2 ∙ 1929 ∙ 3320 ∙ cos 86,6° => H_o´B_r ≈ 3.739,5 m

4

3.3 tan 39,66° = GK AK=

B´_rS

3739,5 => B´_rS ≈3.100m 2

3.4 AΔ = BH´ _o^❑∙BB´ _r^❑∙sinα '

2 =1929∙3320∙sin 86,6°

2 =¿ 3.196.503 m² = 3,2 km² 3 3.5 α‘ = 180° – α = 180° – 93,4° = 86,6°

α‘ ist Nebenwinkel von α und ergänzt diesen zu 180°.

1

3.6 Gesamtstrecke = 6600 + 3300 + 1929 + 3739,5 = 15.568,5 m = 15,5685 km 3 Anlegemanöver = 45 min (Herrsching, Holzhausen, Breitbrunn) = 0,75 h Benötigte Zeit = (15,5685 km : 12 km/h) + 0,75 h = 2,04 h

2

3.7 DB

sinγ= DHe

sinα '  DB

sin63,5°= 6600

sin 86,6°  DB = 5917 m = 5,917 km

DBr = 5917 + 3320 = 9237 m = 9,237 km Dauer Schwimmer = 9,237 km : 5 km/h = 1,84 h Er hat Recht.

5

Summe 20

(5)

Lösungsvorschlag: 4 Stochastik

4.1 absolute Häufigkeit 16 bis 19-jähr. = 302 + 313 = 615 Jugendliche

Die Zahl n aller Befragten: n = 303 + 294 + 302 + 313 = 1.212 Jugendliche

 

³⁰³

h 12 13Jahre 25%

 1212

3

4.2 97 % der 16-17 jährigen haben überhaupt ein Handy. Gesucht ist zuerst die absolute Zahl der Handybesitzer:

n 0,97 302 

n 0,97 302 293 der 16 17 jährigen haben ein Handy

    

Von den 293 Handybesitzer dieser Altersklasse haben 28% ein Smartphone.

16−17 Jahre mit Smartphone: s₁

293=0,28

⇒s₁=0,28⋅293=82

2

4.3 Die Zeiten der Reihe nach geordnet, ergeben folgende Zeitenfolge:

9,63 | 9,75 | 9,79 | 9,80 | 9,88 | 9,94 | 9,98 | 11,99

Zur Berechnung des Medians werden die beiden Zeitwerte in der Mitte herangezogen: (9,80+9,88):2=9,84

Spannweite = 11,99 – 9,63 = 2,36 Sekunden

3

4.4 Das arithmetische Mittel aller persönlicher Bestzeiten:

¯x=(9,91+9,88+9,58+9,79+9,75+9,69+9,72+9,85):8=9,77

Die Durchschnittszeit hätte nicht für den Olympiasieg gereicht. Mit der Zeit von 9,77 sec wäre man Bronzemedaillengewinner geworden.

3

4.5 S = Schmuggler K = Kein

Schmuggler

5

4.6 P (mindestens 1 Schmuggler) = 1 – P(K,K) = 1 – 0,3 = 0,7 2 4.7 P (zweite Person ist Schmuggler) = P (S,S) + P (K,S) = 0,1 + 0,3 = 0,4 2

(6)

Lösungsvorschlag: 5 Funktionen

5.1 Aus A (0 | 2) => c = 2

I: 38 = a ∙ 24² + b ∙ 24 + 2 | – 2 | ∙ 65 II: 46,2 = a ∙ 65² + b ∙ 65 + 2 | – 2 | ∙ 24 I: 2.340 = 37.440 a + 1.560 b

II: 1.060,8 = 101.400 a + 1.560 b

I – II: 1.279,2 = – 63.960 a  a = – 0,02

a in I: 2.340 = 37.440 ∙ (–0,02) + 1.560 b  b = 1,98

1 99

50 50 2 p : y  x² x

bzw. ^{p : y} ^{ }^{0 02}^, ^^x²^^{1 98}^, ^{ }^x ²

4

5.2

 

1 98 2

2 51 005

4 0 02

S

y , ,

  , 

  ^x^S ^{ }²^{ }



^{1 98}^,^{0 02}^,



^^{49 5}^, S (49,5 | 51,01)

4

5.3 y = 0 = – 0,02x² + 1,98x + 2

1 1 2

2

1 98 1 98 4 0 02 2 1 98 2 02 1

100

2 0 02 0 04

/

(x )

, , ² ( , ) , ,

x ( , ) , x

         

  



   => Weite 100 m

3

5.4 mx+2=− 1

50 x²+99 50 x+2

soll genau 1 Lösung haben: D = 0



⁵⁰ ⁹⁹



² ^{4 1 0 0} ^{1 98}

D  m     m ,

5

5.5 A ist falsch, denn z.B.

y =x

²

+1

hat keine Nullstelle.

B ist richtig, denn die (einzige) Schnittstelle mit der y-Achse ergibt sich immer durch Einsetzen von x = 0 in die Funktionsgleichung der Parabel, deren Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen ist.

4

(7)

(8)

Lösungsvorschlag: 6 Körperberechnungen

6.1 2

6.2 d² = a² + a²  d = 4

√

2 = 2,83 cm => d

2 = 2

√

2 = 2,83 cm k² = h² +

(

^d2

)

²  3,2² = h² + (2

√

2)² => h = 1,5 cm

3

6.3 VKörper = a³ + 1

3 ∙ a² ∙ h = 4³ + 1

3 ∙ 4² ∙ 1,5 = 72 cm³ 2

6.4 M = U ∙ hP = 3a ∙ hP = 3 ∙ 6 ∙ 15 = 270 cm² AΔ = a_P²

4 ∙

√

³ ⁼ ⁶

2

4 ∙

√

³ = 15,59 cm² VPrisma = AΔ ∙ hP = 15,59 ∙ 15 = 233,83 cm³

3

6.5 V^'=0,5⋅V

2

1

3 r^¿⋅h^'=0,5⋅1

3r²π⋅h

1 2 1

0 5 4 12 3r   h ,    3 ²

| ∙3 |:π

2 96

r  h Strahlensatz:

4 1

4 12 12 3

r h h

r h'(*)

  

    

(∗) einsetzen:

1 2 1

96 96 9 52

3 h' h 9 h' ³ h' , cm

         

 

 

Abstand Schnittfläche – Grundfläche: h h  2 48, cm

4

6.6

Mit r^' r =h^'

h ⇒r^'=r⋅h^'

h gilt:

4 9 52 3 17 12

r   ,  , cm Schnittfläche A‘ = r‘² π = 31,64 cm

2

6.7 s² = r‘² + h‘²  s² = 3,17² + 9,52²  s = 10,03 cm M = r’ ∙ s ∙ π = 3,17 ∙ 10,03 ∙ π = 99,89 cm²

4

(9)

(10)

Lösungsvorschlag: 7 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen

7.1 ¹^²^x^⁰^^D^^]^^^;⁰^,⁵^[ 10 2

2

1 x  ^ ; Quadrieren ergibt 12x10^⁴

D

x  0 , 49995 

(Nicht runden wg. Probe) Probe: ( notwendig wg. Quadrieren)

2 49995 , 0 2 1

log    zu überprüfen: log0,012_richtigL 



0,49995



4

7.2

D=R ;

0 8 9

² . 64 72

² 8 2 :

: 1      



 



 ergibt z z bzw z z

z mit on Substituti

x

8

; 1 ₂

1  z 

z ;

D x

x







 



 



 1 0

2 1

1 ;

D x

x









 



 



 8 3

2 1

2 ; L



³^;⁰



7

7.3

x  0  D  ] 0 ;  [  R

^ ¹

7.4

log

₃

x  0 ; x  3

⁰

 1  N ( 1 | 0 )

¹

7.5

y  log

₃

x ; Vertausche n von x und y ergibt : x  log

₃

y  3

^x

 y

Ergebnis:

f

^¹

: y  3

^x

2

7.6

2 9 log 1 9

1

3

  



 



 

 

 

 f 

;

. 3

9 2

1 P liegt nicht auf f

f      



 





²

7.7 „x entspricht der Anzahl der stattgefundenen Verdopplungen der Bakterienzahl.“

oder: „x ist ein Maß für die verstrichene Zeit.“

1

7.8 x = 0:

y  100  2

⁰

 100 

Zum Beobachtungsbeginn ( x = 0) liegt die Bakterienzahl bei 100.

1

7.9 Die Bakterienzahl würde der Gleichung gehorchend nach kurzer Zeit über alle Grenzen wachsen. In Wirklichkeit begrenzen Nährstoff- und Platzmangel und anfallende Stoffwechselprodukte das Wachstum.

1