Die Parabel p mit der Funktionsgleichung y = x

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Prüfungsaufgabe 1997 - I

Die Parabel p mit der Funktionsgleichung y = x

²

+ bx – 3 verläuft durch den Punkt P (-2/5).

a) Bestimme den Faktor b der Parabelgleichung und gib dann die vollständige Funktionsgleichung an.

b) Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel.

c) Berechne die Schnittpunkte N

1

und N

2

der Parabel mit der x – Achse.

d) Die Gerade g mit der Funktionsgleichung y = 2x – 3 schneidet die Parabel. Ermitteln Sie die Schnittpunkte Q

1

und Q

2

rechnerisch und zeichnerisch.

a) Funktionsgleichung der Parabel p

Lösungsschema : Einsetzen des Koordinatenpunktes in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx – 3

5 = (-2)² – 2b – 3 5 = 4 - 2b – 3

5 = 1 - 2b / - 1 4 = - 2b / : (-2) -2 = b

Funktionsgleichung: y = x² -2 x – 3

b) Scheitelpunkt

Lösungsschema: Umformen in Scheitelpunktform mit quadrat. Ergänzung y = x² – 2x - 3

y = x² - 2x + 1² – 1² - 3 y = ( x - 1 )² – 4

Ablesen des Scheitelpunktes :S1 ( -1/ - 4 ) c) Schnittpunkte N1 und N2 der Parabel mit der x – Achse.

Lösungsschema: y = 0 setzen 0 = x² – 2x – 3

Lösungsformel

3 1

1

²

2 ,

1

= ± +

x

2

1

,

1

= ±

x

x1 = 3 ¼ N1 (3/0) x2 = - 1 ¼ N2 (- 1/0) d) Schnittpunkte Q1 und Q2 rechnerisch und zeichnerisch.

Lösungsschema: Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen

Einsetzen in eine Funktionsgleichung 2x – 3 = x² – 2x - 3 /-2x / + 3

0 = x² - 4x Lösungsformel

2 2

,

1

= 2 ± 2

x

2

,

1

= ±

x

x1 = 4 x2 = 0

y = 2x – 3 y = 2 w 4 – 3 y = 5

Schnittpunkt Q1 ( 4/5)

y = 2x – 3 y = 2 w 0 – 3 y = -3

Schnittpunkt Q2 ( 0/-3)

Zeichnung