Abschlussprüfung 2009 an zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen

Prüfungsfach: Mathematik

Prüfungstag: Donnerstag, 2. Juli 2009 Arbeitszeit: 180 Minuten

Notenschlüssel und Lösungsvorschlag

Punkte Note

100 – 86 = 1

85 – 71 = 2

70 – 56 = 3

55 – 41 = 4

40 – 20 = 5

19 – 0 = 6

Lösungsvorschlag: 1 Finanzmathematik

1.1 K₆ =150.000 35.000 1,03− ⋅ ⁴ ⇒ K₆ =110.607,19 €

( )

6

6

1,03 1 110.607,19 r 1,03

1,03 1 110.607,19 0,03

r r 16.601,55 €

1,03 1,03 1

= ⋅ ⋅ −

−

= ⋅ ⇒ =

⋅ −

Die jährlichen Zahlungen müssen 16.601,55 € betragen.

5

1.2 ⁿ

n n n

1,03 1 150.000 17.000

1,03 1

150.000 566.666,67 1,03 566.666,67 716.666,67 566.666,67 1,03

1,26... 1,03 lg 1,26...

n n 7,94

lg1,03

= ⋅ −

−

= ⋅ −

= ⋅

=

= ⇒ =

Frau Seufert benötigte 8 Jahre zum Ansparen.

5

1.3 ¹⁶

16

200.000 1,08 0,08

A A 22.595,37 €

1,08 1

⋅ ⋅

= ⇒ =

−

Jahr Schuld Zins Tilgung Annuität 1 200.000,00 16.000,00 6.595,37 22.595,37 2 193.404,63 15.472,37 7.123,00 22.595,37

4

1.4 q = 1,045

Barwert von Angebot A = 300.000 €

Berechnung des Barwertes der Ratenzahlung von B:

²⁹-

0 29

1,045 1

R 12.000 € 192.262,66 €

1,045 0,045

= =

⋅

Barwert von Angebot B = 100.000 € 192.262,66 €+ =292.262,66 € Barwert von Angebot C:

= ₀⋅ ³⇒ ₀= ³=

345.000 € K 1,045 K 345.000 € : 1,045 302.322,33 € Barwert von Angebot C = 302.322,33 €

Für Herrn Seufert ist das Angebot C rechnerisch am günstigsten.

6

Summe 20

Lösungsvorschlag: 2 Folgen und Reihen

2.1 a1= 1.730 a8= 2.500 2.500 1.730

d 110

(8 1)

= − =

−

(Ergebnis: d = 110)

3

2.2

8

s 8(1.730 2.500) 16.920

= 2 + = (Mai bis Dezember)

sges =16.920+ ⋅4 1.730=23.840

3

2.3

2

1 2

40.000 n(2 1.730 (n 1) 110) 110 n 3.350n 80.000 0 2

n 15,74; (n 0)

= ⋅ + − ⋅ ⇒ + − =

⇒ = <

Bis August 2010 wurden mehr als 40.000 Module produziert.

5

2.4 g1=130 ; g8= 100

7100

q 0,9632

= 130 =

Die Kosten müssen jeden Monat um 3,68 % gesenkt werden.

4

2.5 n=13 q= 0,9632

a13 =1.730 (13 1) 110+ − ⋅ =3.050 (Produktionszahl im Mai 2010)

12

g13 =130 0,9632⋅ =82,90 (Kosten pro Modul im Mai 2010) D=3.050 (250 82,90)⋅ − =509.655 €

5

Summe 20

Lösungsvorschlag: 3 Trigonometrie/Geometrie

3.1 CD

cos 48 CD 1,17 m

° =1,75⇒ =

h=AC=1,17 m+2,50 m=3,67 m

4

3.2 ² 2 2

DE =0,875 +1,17 − ⋅2 0,875 1,17 cos132⋅ ⋅ ° ⇒DE=1,87 m 4

3.3 CGD 42

HGF 180 42 23 115

sin115 e

e 8,12 m sin 23 3,50

= °

= ° − ° − ° = °

° = ⇒ =

° S S

5

3.4 sin sin36,7

25,49

180 250

β = °⇒ β = ° 3

3.5 γ =180° − α − β =117,81° 250 180 sin117,81 2

A 19.901,24 m

2

⋅ ⋅ °

= =

V

davon 95% sind 18.906,18 m²

2 2

18.906,18 m

n 540,18

35 m

= = ⇒ Es können 540 Module platziert werden.

4

Summe 20

Lösungsvorschlag: 4 Gleichungen

4.1

{ }

( )

( )

( ) { }

2 2

2 1/2

1 2

1 2

D : 5x 1 0 D x x 0,2

x 5x 1 5 ; 5x 1 5 x ; 0 x 15x 26 ;

15 15 4 1 26 15 11

x ;

2 1 2

x 13 ; x 2 ;

Pr obe :

x : 13 5 13 1 5; x : 2 5 2 1 5 ;

13 8 5(w) 2 3 5 f L 13

− ≥ = ≥

− − =

− = −

= − +

± − − ⋅ ⋅ ±

= =

⋅

= =

− ⋅ − = − ⋅ − =

− = − = =

8

4.2

{ }

{ }

{ }

( )

( )

1 1

2 2

1 2

2

D : x 0 D x | x 0

D : 2 x 0 D x | x 2

D D D x | 0 x 2

lg3 lg x lg 2 x 2 ; lg 3x 2 ;

2 x 3x 10 ; 2 x

3x 100 2 x ; 3x 200 100x ; 103x 200 ;

200 200

x ; L

103 103

> = >

− > = <

= ∩ = < <

+ − − =

− =

− =

= ⋅ −

= −

=

 

= =  

 

7

4.3

( ) ( )

2x x 2 3x 4

2x x 2 3 3x 4

D

5 : 5 125 ;

5 5 ;

2x x 2 9x 12 ; 10x 14 ;

14 7 7

x L

10 5 5

+ − +

− + ⋅ − +

=

=

=

− − = − +

=

= = =   

 

R 5

Summe 20

Lösungsvorschlag: 5 Funktionen

5.1 y = 0,75 x² – 3x + 3 y = 0,75 (x² – 4x + 4)

y = 0,75 (x² – 4x + 2² – 2² + 4)

Scheitelform p1: y = 0,75 (x – 2)² ^{⇒S 2 01}

( )

4

5.2 ^S2

(

)

Scheitelform p2: y = 0,75 (x – 2)² + 0,5; p2: y = 0,75 (x² – 4x +4) + 0,5 allgemeine Form p2: y = 0,75 x² – 3x + 3,5

3

5.3 Höhe des Brunnens beträgt 1 m.

y = 1 in p1: 1 = 0,75 (x – 2)² ⇒ x1 = 3,15; x2 = 0,85 y = 1 in p2: 1 = 0,75 (x – 2)² + 0,5 ⇒ x³ = 2,82; x4 = 1,18 b = x4 – x2 = 1,18 – 0,85 = 0,33 (m)

5

5.4 x = 1,5

x in p1: y = 0,75 (1,5 – 2)²

yt = 0,19 ⇒ T1 (1,5| 0,19)

2

5.5 y = mx + t

0,19 = (–0,75) · 1,5 + t

t = 1,32 ⇒ t1: y = –0,75x + 1,32

2

5.6 Nullstelle von t1: y = 0 ⇒ 0 = –0,75x + 1,32 ⇒ x = 1,76 N (1,76| 0)

= − = − =

1 S N

NS x x 2 1,76 0,24

= ⋅ 1= ⋅ =

a 2 NS 2 0,24 0,48 (m)

4

Summe 20

Lösungsvorschlag: 6 Körperberechnung

6.1

KS

2 2

x= (8,2cm) −(8 cm) =1,8cm⇒r1 =8 cm 1,8 cm+ =9,8 cm

Hut PY KS KU

2 2 2 3 3

Hut

3 Hut

V V V 1 V

2

1 1 1 4

V (50) 40 8 ((9,8) 9,8 8 (8) ) (8) cm

3 3 2 3

V 34.258,55 cm

= + − ⋅

 

= ⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ π

=

5

6.2 hs = (40 cm)²+

(

)

s 2 Py

h a 47,17 cm 50 cm

M 4 4 4.717,00 cm

2 2

⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ =

4

6.3 8cm

sin ´ ´ 77,32 180 77,32 102,68

8,2cm

α = ⇒ α = ° ⇒ α = ° − ° = ° 2

6.4

( )

2 2

2 2 2

f 1

f a 2 50 cm 2 25 cm 2 35,36 cm

2 2

s f h s 25 cm 2 (40cm) 53,39 cm

2

gesamte Länge : 4 53,39 cm 213,56cm

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ≈

=    + ⇒ = + =

⇒ ⋅ =

5

6.5 _PS

PS

2 2 2 2 3

PS

40cm h

6 cm h 30,4 cm

25cm 40 cm

30,4 cm

V ((50 cm) (50 cm) (12cm) (12cm) ) 32.872,53 cm 3

= − ⇒ =

= ⋅ + ⋅ + =

4

Summe 20