Nachtermin an
zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen
Prüfungsfach: Mathematik
Prüfungstag: Donnerstag, 20. September 2012
Arbeitszeit: 180 Minuten
Zugelassene Hilfsmittel: Elektronischer, nicht programmierbarer Taschenrechner; zugelassene
Formelsammlung sowie die mit KMS Nr. VII.4 – 5 S 9500 – 4 – 7.119867 bekannt gegebenen Ergänzungen
Vorname: Nachname: Klasse: Platznummer:
Erreichte Punktezahl: ___________ (von 100)
Note: ___________________
Erstkorrektor: ___________________
Zweitkorrektor: ___________________
Hinweis für den Prüfungsausschuss:
Die Aufgabenauswahl richtet sich nach den im KMS vom 07.03.2012 Nr. VII.4-5 S 9500-4-7.2945 getroffenen Regelungen.
Bäckermeister Albrecht möchte den Betrieb seines Konkurrenten Brezler übernehmen. Er macht ihm folgende 3 Angebote:
A: Zahlung von 900.000 € sofort bar
B: Zahlung von 5 gleich großen Raten zu je 210.000 € im zweijährigen Abstand, die erste Rate ist sofort fällig.
C: Sofortzahlung 170.000 €, danach Zahlung von 400.000 € nach zwei Jahren, 450.000 € nach weiteren drei Jahren.
1.1 Berechnen Sie welches Angebot Herr Brezler annehmen sollte, wenn mit einem Zinssatz von 4,5% p.a. gerechnet werden kann.
6
Herr Albrecht entscheidet sich für Angebot A und nimmt ein Darlehen über die 900.000 € zu einem Zinssatz von 9,5% p.a. auf. Dieses Darlehen möchte er in gleich bleibenden, jeweils am Jahresende zu zahlenden Annuitäten in 15 Jahren zurückzahlen.
1.2 Erstellen Sie für die ersten 2 Jahre einen Tilgungsplan. 4
1.3 Berechnen Sie die Restschuld nach 10 Jahren. 2
Der Verkäufer, Herr Brezel, überlegt die 900.000 € in Anleihen bei einem garantierten jährlichen Zinssatz von 6,25 % p.a. anzulegen.
1.4 Berechnen Sie den möglichen Auszahlungsbetrag nach 10 Jahren. 2 Er entscheidet sich jedoch dafür, die 900.000 € nicht anzulegen, sondern
jährlich jeweils zum Jahresanfang 100.000 € zu entnehmen.
1.5 Berechnen Sie wie viele volle Abhebungen er tätigen kann, wenn ebenfalls mit einem Zinssatz von 6,25 % p.a. zu rechnen ist.
6
Summe 20
2 Folgen und Reihen Punkte
Figur A entsteht durch Überlagerung von Quadraten, deren Seitenkante jeweils um 1 cm anwächst. Figur B entsteht durch Überlagerung von Kreisen, deren Radien sich jeweils verdoppeln. Die Seitenkante des ersten Quadrates und der Radius des ersten Kreises haben jeweils die Länge 1 cm.
(Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu)
2.1 Berechnen Sie wie viele Quadrate bzw. Kreise überlagert werden müssen, damit Figur A und Figur B jeweils eine Höhe von mindestens 50 cm erreichen.
5
2.2 Berechnen Sie die Fläche des fünfzehnten Quadrates bzw. des fünfzehnten Kreises.
5
2.3 Berechnen Sie welche Gesamtlänge sich ergibt, wenn jeweils alle Seitenkanten der ersten 15 Quadrate bzw. die Radien der ersten 15 Kreise addiert werden.
4
2.4 Es sollen wieder alle Seitenkanten der Quadrate addiert werden (siehe Aufgabe 2.3).
Berechnen Sie wie viele Quadrate aufgeklappt und aneinandergelegt werden müssten um eine Gesamtstrecke von 111 m zu bekommen.
6
Summe 20 Figur B
Figur A
Der Schiefe Turm von Pisa hat eine Höhe von 54,75 m (Strecke AE ). Seine Neigung beträgt zur Zeit 4,86 m an der Spitze (Strecke AB ).
Der Turm konnte bis zum Jahr 1989 von Touristen bestiegen werden, danach wurde er wegen Einsturzgefahr gesperrt.
3.1 Bestimmen Sie den Winkel AEB 2
3.2 Berechnen Sie die Länge der Strecke EB von der Turmspitze E senkrecht nach unten.
2
Ein Ingenieur erblickt die Turmspitze E unter einem Erhebungswinkel von 15°.
3.3 Berechnen Sie wie weit er vom Fußpunkt A des Turmes entfernt steht, wenn von einer Augenhöhe von DC = 1,75 m ausgegangen wird.
[Ergebnis: AC = 201,83 m]
5
3.4 Berechnen Sie den Senkungswinkel mit dem der Ingenieur auf den Fußpunkt
A blickt. [Ergebnis: Senkungswinkel = 0,5°]
3
3.5 Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ADE. 6
3.6 Bestimmen Sie die Größe des Winkels β. 2
Summe 20
Skizze ist nicht maßstabsgetreu.
4 Stochastik Punkte
Ein Glücksrad besteht aus acht gleich großen Sektoren
die mit den Ziffern 1, 2 oder 3 beschriftet sind.
4.1 Das Glücksrad wird einmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen 1, 2 oder 3.
2
4.2 Das Glücksrad wird nun zweimal gedreht. Zeichnen Sie das zu diesem
Zufallsexperiment gehörige Baumdiagramm und beschriften Sie die Pfade mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
3
4.3 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zweimal die Ziffer 3 erscheint.
2
4.4 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei gleiche Ziffern erscheinen.
3
Für den Ausbau einer Schnellstraße wird an einem Werktag eine Erhebung durchgeführt. Dabei werden in 4 Schichten die PKWs und LKWs erfasst. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle und in einem Diagramm angegeben.
Verkehrsaufkommen
Zeit 0 - 6 Uhr 6 - 12 Uhr 12 - 18 Uhr 18 - 20 Uhr Anzahl der
PKWs
2.547 15.500 21.093 10.855
Anzahl der
LKWs
365 1.166 1.863 1.441
Fahrzeuge
gesamt
2.912 16.666 22.956 12.296
Diagramm auf der nächsten Seite
4.5 Bestimmen Sie die absolute Häufigkeit aller Fahrzeuge von 12 – 18 Uhr. 1
Entscheiden Sie, ob die Aussagen 4.6 und 4.7 aufgrund der angegeben Daten richtig sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
4.6 Die relative Häufigkeit der LKWs an den gezählten Fahrzeugen ist von 0 – 6 Uhr niedriger als von 12 – 18 Uhr.
3
4.7 Im Durchschnitt wurden ca. 200 LKWs pro Stunde gezählt. 2 4.8 Berechnen Sie das arithmetische Mittel der PKWs an diesem Tag. 2 4.9 Berechnen Sie die Spannweite der LKWs an diesem Tag. 2 Summe 20
5 Funktionen Punkte
Auf Sportplätzen oder in Parkanlagen werden in den Sommermonaten automatische Beregnungsanlagen aufgebaut. Aus einer Düse wird Wasser auf den Rasen gespritzt (siehe Skizze). Der Bogen, den das Wasser beschreibt ist eine Parabel mit der
Funktionsgleichung p : y1 = −0,1x² 0,8x 0,7+ + .
Die Maßeinheit wird in Meter angegeben. Runden Sie alle Ergebnisse wenn nötig auf 2 Stellen nach dem Komma. Geben Sie jeweils einen Antwortsatz an.
5.1 In welcher Höhe tritt der Wasserstrahl aus der Beregnungsanlage aus? 1 5.2 Berechnen Sie den höchsten Punkt des Wasserbogens.
[Ergebnis H(4|2,3)]
3
5.3 Berechnen Sie in welcher Entfernung der Wasserstrahl wieder auf dem Erdboden auftrifft.
4
5.4 Geben Sie die Scheitelform der Parabel p1 an und bestimmen Sie deren Symmetrieachse.
2
Gegeben ist die Parabelschar p : y 0,1x² 0,2x t mit x IR und t IR.t = − + ∈ ∈
5.5 Für welchen t-Wert existiert ein Berührpunkt mit der Parabel p1. 5 5.6 Berechnen Sie den oder die Schnittpunkte der Parabel p1 mit der Parabel
p : y 0,1x² 0,2x 1,952 = − + .
3
5.7 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer Geraden g, wenn g parallel zur x-Achse verläuft und der Scheitelpunkt von p1 auf der Geraden liegt.
2
Summe 20
Ein kegelförmiges Glas hat innen eine
Mantelfläche von 33,51 cm².
Der Querschnitt des Glases ist ein
gleichseitiges Dreieck.
Eine Kugel mit dem Radius 5 cm wird auf das Glas aufgesetzt.
6.1 Berechnen Sie den Innenradius des Glasgefäßes. (Ergebnis: r = 4 cm) 3
6.2 Berechnen Sie das Volumen der Kugel. 2
6.3 Berechnen Sie wie tief die Kugel in das Glas hineinragt. (Ergebnis: x = 2 cm) 3
6.4 Berechnen Sie die Höhe hgesamt des Gesamtkörpers. 2
Aus einem Parallelogramm ABCD wurde ein Halbkreis um M mit dem Radius r = 3 cm ausgeschnitten.
Die so entstandene Figur rotiert um eine Rotationsachse durch die Punkte A und B.
Gegeben ist weiterhin:
a = 13 cm b = 7,07 cm α = 45°
6.5 Berechnen Sie den Flächeninhalt der entstandenen Figur.
5
6.6 Ermitteln Sie das Gesamtvolumen des Rotationskörpers. 5
Summe 20
Querschnittsskizze
7 Aufgabenstellung ohne Themenbezug Punkte
Ein Pizza-Lieferservice bietet eine runde Pizza mit einem Durchmesser von 28 cm für 6 € und eine rechteckige Familienpizza (46 cm x 33 cm) für 16 € an.
7.1 Bei welcher Pizza bekommt man mehr fürs Geld? Belegen Sie ihre Entscheidung durch entsprechende Berechnungen.
5
Gibt es einen Kreis, bei dem der Zahlenwert des in cm² gemessenen Flächeninhalts genau so groß ist wie der Zahlenwert des in cm gemessenen Umfangs?
7.2 Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls den Radius dieses Kreises an.
3
Ein Schüler plant den Kauf eines neuen PCs mit Monitor und Drucker. Er hat zwei Preisangebote zum Vergleich.
Angebot A Angebot B
Komplettpaket mit PC, Monitor und Drucker:
Verkaufspreis: 1.100,-- € Barzahlungspreis: 1.045,-- €
PC: 650,-- € Monitor: 300,-- € Drucker: 100,-- €
zuzüglich 19% MwSt. (Umsatzsteuer) Preisnachlass von 2% bei Barzahlung
7.3 Berechnen Sie bei Angebot A den Preisnachlass in € und in %. 3 7.4 Berechnen Sie bei Angebot B den zu zahlenden Endpreis bei Barzahlung. 3 7.5 Berechnen Sie wie viel Prozent sich der Schüler bei Barzahlung sparen kann,
wenn er sich für das günstigere Angebot entscheidet.
3
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt 72.
7.6 Berechnen Sie diese Zahlen. 3
Summe 20
