Abschlussprüfung 2014 Nachtermin an zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen

Nachtermin an

zwei-, drei- und vierstufigen Wirtschaftsschulen

Prüfungsfach: Mathematik

Prüfungstag: Dienstag, 23. September 2014

Arbeitszeit: 180 Minuten

Zugelassene Hilfsmittel: Elektronischer, nicht programmierbarer Taschenrechner; zugelassene

Formelsammlung sowie die mit KMS Nr. VII/4- 11c78-14/147780 und mit KMS Nr. VII.4 – 5 S 9500 – 4 – 7.119867 bekannt gegebenen Ergänzungen

Vorname: Nachname: Klasse: Platznummer:

Erreichte Punktezahl: ___________ (von 100)

Note: ___________________

Erstkorrektor: ___________________

Zweitkorrektor: ___________________

Hinweis für den Prüfungsausschuss:

Die Aufgabenauswahl richtet sich nach den im KMS vom 12.02.2014

1 Finanzmathematik Punkte

Herr Meier hat vor 10 Jahren eine Immobilie erworben und dafür einen Kredit in Höhe von 320.000,00 € zu einem Zinsatz von 4,6 % und einer Laufzeit von 29 Jahren in Form nachschüssiger Annuitätentilgung aufgenommen.

1.1 Berechnen Sie die aktuelle Restschuld.

(Ergebnis: 252.314,00 €)

3

Aufgrund der aktuellen Niederzinspolitik versucht Herr Meier seinen Darlehensvertrag am Ende des 10. Jahres neu zu verhandeln.

Sein Bankberater unterbereitet ihm folgende Angebote:

Angebot A: 2,7 % Zins mit einem Recht auf Sondertilgung (= zusätzliche Tilgungsmöglichkeit) in Höhe von jährlich 7.500,00 € bei einer Ratentilgung über eine Laufzeit von weiteren 19 Jahren.

Angebot B: 2,3 % Zins ohne Sondertilgung bei einer gleich bleibenden Annuität von 7 % der Darlehenssumme.

1.2 Erstellen Sie einen Tilgungsplan zu Angebot A über die ersten zwei Jahre des neuen Darlehensvertrages, wenn Herr Meier sein

Sondertilgungsrecht wahrnimmt.

3

1.3 Herr Meier möchte das Darlehen möglichst schnell tilgen.

Berechnen Sie, wann er seine Schuld mit Angebot A zurückbezahlt haben wird, wenn er jedes Jahr die Sondertilgung in Anspruch nehmen kann.

2

1.4 Bei Angebot B reizt Herrn Meier der niedrigere Zinssatz. Berechnen Sie, wie lange es bei diesem Angebot dauern würde, bis der Kredit

vollständig zurückbezahlt ist.

5

Herr Meier steht kurz vor der Pensionierung. Er hat Anspruch auf eine 10- jährige betriebliche Rente in Höhe von 4.000,00 € jährlich nachschüssig. Seine Firma bietet ihm als Gegenwert eine Einmalzahlung in Höhe von 40.000,00 €.

1.5 Berechnen Sie, ob Herr Meier die Einmalzahlung annehmen sollte, wenn er mit einem Zinssatz von 2 % rechnen kann.

3

Herr Meier entscheidet sich für die Einmalzahlung in Höhe von 40.000,00 € und legt das Kapital auf ein Sparkonto mit einer Verzinsung von 2 %.

1.6 Berechnen Sie, welchen Betrag er jährlich vorschüssig abheben kann, wenn nach 15 Jahren noch 20.000,00 € auf dem Sparkonto verbleiben sollen.

4

Summe 20

2 Folgen und Reihen Punkte

Ein Hobbysportler hat sich zum Ziel gesetzt, einmal einen Triathlon meistern zu können. Für die Teildisziplin Laufen steigert er seine Laufstrecke in jeder Trainingseinheit um 400 m. Am 11. Trainingstag läuft er doppelt so weit, wie am 5. Trainingstag.

2.1 Berechnen Sie, wie lang die Laufstrecke am ersten Trainingstag war.

(Ergebnis: a1 = 800 m)

3

2.2 Berechnen Sie, nach wie vielen Trainingstagen der Läufer eine Gesamtstrecke von insgesamt 198 km zurückgelegt hat.

5

2.3 Berechnen Sie, an welchem Trainingstag der Läufer erstmals die Strecke eines Halbmarathons (21,0975 km) zurücklegt.

3 Das Schwimmtraining für den geplanten Triathlon absolviert der Sportler in

einem 15 ha großen See. Bei Untersuchungen der Wasserqualität wurde festgestellt, dass sich die sogenannte Blaualge im See ausgebreitet hat. Im März 2013 wurde ein Algenteppich auf einer Fläche von 150 m² entdeckt.

Dieser vergrößert sich monatlich um 35 %.

2.4 Berechnen Sie, um wie viele m² der Algenteppich allein im Oktober 2013 angewachsen ist.

3

2.5 Berechnen Sie, welcher Anteil des Sees (in Prozent) bis einschließlich Mai 2014 mit Algen bedeckt sein wird.

3

Nach einer gewissen Zeit sind 50.000 m² des Sees mit Algen bedeckt. Nach einem Kälteeinbruch wächst der Algenteppich nicht mehr weiter. Durch den Einsatz eines Algenmähers soll versucht werden, die bedeckte Fläche zu reduzieren. Dieser Mäher ist in der Lage den Algenteppich pro Tag um 5 % zu verkleinern.

2.6 Berechnen Sie nach wie viel Tagen der Algenteppich wieder auf dem Stand von März 2013 ist.

3

3 Trigonometrie Punkte

Auf einer Karte des Ammersees sind einige direkt am Ufer gelegene Orte eingezeichnet. Ebenfalls ist eine Boje B markiert, die den Linienschiffen

am See als Orientierung dient. Sie ist von Herrsching 3,3 km, von

Breitenbrunn 3,32 km und von Holzhausen 1.929 m entfernt.

Folgende weitere Entfernungen sind weiterhin bekannt:

Herrsching – Breitbrunn = 4.818 m Dießen – Herrsching = 6,6 km 3.1 Berechnen Sie den Winkel α.

(Ergebnis: α = 93,4°)

3

3.2 Berechnen Sie die Entfernung

von Holzhausen nach Breitenbrunn. (Ergebnis: H_o´B_r = 3.739,5 m)

4

3.3 Berechnen Sie die Entfernung von Breitenbrunn nach Schondorf, wenn β = 39,66° groß ist.

2

Während der Laichzeit einer seltenen Forellenart, wird die schraffierte Fläche zwischen der Boje, Breitenbrunn und Holzhausen für den Schiffverkehr gesperrt.

3.4 Berechnen Sie die gesperrte Fläche in km². 3

3.5 Begründen Sie, warum der Winkel α‘ = 86,6° groß sein muss. 1 Der Dampfer MS UTTING fährt mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h von

Dießen nach Herrsching, von dort weiter nach Holzhausen und schließlich nach Breitbrunn. Jedes Anlegemanöver dauert (inkl. Ein- und Ausstiegszeiten) 15 Minuten.

3.6 Berechnen Sie, wie lange die MS Utting von Dießen bis Breitenbrunn auf dieser Strecke braucht. (Ergebnis: Dauer = 2,04 Stunden)

2

Michael trainiert für einen Triathlon und schwimmt die Strecke (direkter Weg) von Dießen nach Breitbrunn mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 5 km/h. Er behauptet, dass er schneller ist als die MS UTTING, wenn diese auf der vorgegebenen Route (siehe 3.6) fährt. Es gilt γ = 63,5°.

3.7 Zeigen Sie rechnerisch, dass er Recht hat. 5

Summe 20

4 Stochastik Punkte

Die nachstehende Tabelle zeigt Daten zum Medienverhalten in bestimmten Altersgruppen, die eine Studie im Jahr 2011 ergeben hat. Befragt wurden Jugendliche im Alter von 12–19 Jahren.

Altersgruppen 12 – 13 14 – 15 16 – 17 18 – 19

Anzahl der befragten je

Altersgruppe 303 294 302 313

4.1 Bestimmen Sie die absolute Häufigkeiten der 16 bis 19-jährigen

Befragten sowie die relative Häufigkeit der befragten Altersgruppe „12 – 13-jährige“.

3

Das nachfolgende Diagramm aus obiger Studie gibt eine Übersicht über den Handybesitz und die Art des Handys (normales Handy oder Smartphone) der Jugendlichen in Prozent.

Handybesitzer davon besitzen ein Smartphone / iPhone

4.2 Berechnen Sie wie viele der 16-17 Jährigen ein Smartphone / iPhone 2

Das 100m Finale der Herren bei den Olympischen Sommerspielen 2012 in London ergab folgendes Zielfoto.

Bahn 9 Bahn 8 Bahn 7 Bahn 6 Bahn 5 Bahn 4 Bahn 3 Bahn 2

Churandy Martina

Ryan Baily

Usain Bolt

Justin Gatlin

Yohan Blake

Tyson Gay

Asafa Powell

Richard Thompson Zeit im

Finale:

9,94 sec

Zeit im Finale:

9,88 sec

Zeit im Finale:

9,63 sec

Zeit im Finale:

9,79 sec

Zeit im Finale:

9,75 sec

Zeit im Finale:

9,80 sec

Zeit im Finale:

11,99 sec

Zeit im Finale:

9,98 sec Persönl.

Bestzeit:

9,91 sec

Persönl.

Bestzeit:

9,88 sec

Persönl.

Bestzeit:

9,58 sec

Persönl.

Bestzeit:

9,79 sec

Persönl.

Bestzeit:

9,75 sec

Persönl.

Bestzeit:

9,69 sec

Persönl.

Bestzeit:

9,72 sec

Persönl.

Bestzeit:

9,85 sec

4.3 Berechnen Sie den Median und die Spannweite aus den im Finale gelaufenen Zeiten.

3

4.4 Zeigen Sie, dass die durchschnittliche persönliche Bestzeit aller Läufer nicht ausgereicht hätte, um Olympiasieger zu werden. Für welche Medaille hätte diese Zeit gereicht?

3

Fünf Freunde unternehmen einen Ausflug zu den Olympischen Spielen nach London. Obwohl es nicht erlaubt ist, versuchen Anton und Bert kleine

Glasflaschen mit ins Stadion zu „schmuggeln“. Bei der Sicherheitskontrolle werden zufällig zwei von den Fünfen ausgewählt und genauer untersucht.

4.5 Fertigen Sie ein geeignetes Baumdiagramm (mit

Übergangswahrscheinlichkeiten) an, das angibt ob die zufällig

ausgewählte Person ein Schmuggler (S) oder kein Schmuggler (K) ist.

Berechnen Sie auch alle Pfadwahrscheinlichkeiten.

5

4.6 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein

„Schmuggler“ erwischt wird.

2

4.7 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite kontrollierte

Person ein „Schmuggler“ ist. 2

Summe 20

5 Funktionen Punkte

Eine mögliche Flugbahn der Speerspitze beim Speerwurf wird annähernd durch eine Parabel p beschrieben. Der Speer (genauer: die Speerspitze) wird bei A (0 | 2) in positive x-Richtung abgeworfen und fliegt durch die Punkte B (24 | 38) und C (65 | 46,2).

Hierbei entspricht 1 Längeneinheit im Koordinatensystem 1 Meter.

5.1 Stellen Sie die Funktionsgleichung der Flugparabel p auf.

(Ergebnis:

1 99

50 50 2 p : y  x² x

)

4

5.2 Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn, den die Speerspitze erreicht.

4

5.3 Berechnen Sie, welche Wurfweite gemessen werden kann. 3 Im Abwurfpunkt A (0 | 2) soll nun die Tangente tg: y = m∙x + 2 an die Flugbahn

des Speeres gelegt werden.

5.4 Berechnen Sie die Steigung m so, dass die Gerade tg die Tangente an p ist.

5

Sind die folgenden Behauptungen richtig oder falsch?

Begründen Sie ihre Entscheidung oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

5.5 A: „Jede Parabel hat mindestens eine Nullstelle.“

B: „Jede Parabel hat mindestens einen Schnittpunkt mit der y-Achse.“

4

Summe 20

6 Körperberechnungen Punkte

Einem Würfel mit der Kantenlänge a = 4 cm ist passgenau eine gerade Pyramide aufgesetzt. Somit ist die Deckfläche des Würfels gleichzeitig die Grundfläche der aufgesetzten Pyramide. Für die vier gleich langen

Seitenkanten der Pyramide gilt: k = 3,2 cm.

6.1 Fertigen Sie eine sauber gezeichnete Skizze des entstehenden zusammengesetzten Körpers an.

Die Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein.

2

6.2 Berechnen Sie die Höhe h der Pyramide.

(Ergebnis: h = 1,50 cm)

3

6.3 Berechnen Sie das Gesamtvolumen des zusammengesetzten Körpers. 2 Gegeben ist ein 15 cm hohes gerades Prisma, dessen Grundfläche ein

gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge ap = 6 cm ist.

6.4 Berechnen Sie die Mantelfläche M und das Volumen V des Prismas. 3 Ein gerader Kegel mit dem Grundkreisradius r = 4 cm und der Höhe hK = 12 cm

wird durch eine zur Grundfläche parallele Ebene so geteilt, dass die beiden entstehenden Körper gleiches Volumen haben.

6.5 Berechnen Sie, in welchem Abstand zur Grundfläche der Schnitt erfolgte.

(Ergebnis: Abstand Schnittfläche - Grundfläche: 2,48 cm)

4

6.6 Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schnittfläche.

(A = 31,57 cm²)

2

6.7 Für den Radius der kreisförmigen Schnittfläche gilt r‘ = 3,17 cm.

Berechnen Sie die Oberfläche des entstandenen kleinen (oberen) Kegels.

4

Summe 20

7 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen und -gleichungen Punkte

Bestimmen Sie jeweils die Definitions- und Lösungsmenge folgender Gleichungen in der Grundmenge der reellen Zahlen:

7.1

log √ ^{1−2 ⋅ x =−2}

7.2

−8 ⋅ ( ¹ 4 )

^{+72 ⋅} ( ¹ 2 )

⁼⁶⁴

Gegeben ist die Logarithmusfunktion

f : y= log

x

7.3 Geben Sie die maximal mögliche Definitionsmenge an. 1

7.4 Bestimmen Sie die Nullstelle von

f

7.5 Bestimmen Sie die Umkehrfunktion

f

f

7.6

Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt

1 3

P    9 |    

f

2

Bei optimalen Bedingungen kann das Wachstum von Bakterien mit Hilfe einer Exponentialfunktion beschrieben werden:

y=100 ⋅ 2

x≥0

Hierbei stellt der Funktionswert y die Anzahl der Bakterien dar.

7.7 Welche Bedeutung ( sachlicher Zusammenhang ) hat die Variable x in obiger Funktionsgleichung?

1

7.8 Welche Bedeutung ( sachlicher Zusammenhang ) hat die Zahl 100 in obiger Funktionsgleichung?

1

7.9 Geben Sie ein Argument an, warum obige Exponentialgleichung das Bakterienwachstum in der realen Welt nur unvollständig beschreiben könnte.

1