c>0 ∀ x∈EkAxk ≤ckxk

Ubungen zu H¨¨ ohere Mathematik f¨ur Physiker II Blatt 6

1 Sei n→rn eine Abz¨ahlung der rationalen Zahlen im Intervall I = [0,1].

F¨urx∈I definiere

A(x) ={n∈N:rn< x} und

f(x) = X

n∈A(x)

2⁻ⁿ.

Dann ist die Einschr¨ankungϕvonf auf die Menge der irrationalen Zahlen stetig;ϕkann aber nicht als stetige Funktion auf ganzIfortgesetzt werden.

8 2 SeienE, E⁰ normierte R¨aume undA:E→E⁰ linear. Dann gilt

A stetig ⇐⇒ ∃

c>0 ∀

x∈EkAxk ≤ckxk.

10 3 Seien (a_n),(b_n) Folgen in R. Wir erweitern dann die Definition vonLimes

inferiorundLimes superior, indem wir setzen lima_n=−∞, falls zu jeder nat¨urlichen Zahlk eine unendliche TeilmengeI_k ⊂Nexistiert, so daß

a_n<−k ∀n∈I_k,

und entsprechend lima_n =∞, falls zu jeder nat¨urlichen Zahl k eine un- endliche TeilmengeI_k ⊂Nexistiert, so daß

a_n > k ∀n∈I_k. Wir treffen folgende Vereinbarungen

∞+a=∞ ∀ − ∞< a≤ ∞ (1)

−∞+a=−∞ ∀ − ∞ ≤a <∞ (2)

(−1)∞=−∞

(3)

a∞= signa∞ ∀06=a∈R (4)

a

∞ = 0 ∀a∈R

(5)

a

0 = signa∞ ∀06=a∈R (6)

∞

∞, ⁰₀, 0∞und∞ − ∞sind nicht definiert.

Beweisen Sie dann folgende Limesbeziehungen:

2

(i) liman+ limbn≤lim(an+bn) (ii) lim(an+bn)≤liman+ limbn

(iii) liman+ limbn≤lim(an+bn)

(iv) a_n≤b_n =⇒ lima_n≤limb_n ∧ lima_n≤limb_n

falls beide Seiten der Ungleichungen definiert sind, und es gilt ferner, falls an, bn≥0 und beide Seiten wieder definiert sind

(v) lim(a_nb_n)≤lima_nlimb_n (vi) lima_nlimb_n≤lim(a_nb_n) (vii) lima_nlimb_n≤lim(a_nb_n) (viii) lim(_a¹

n) =_lim¹_a

n

Ferner gilt f¨ur eine beliebige Folgean∈R lima_n=−lim(−a_n) und

a= lima_n= lima_n ⇐⇒ a= lima_n.

10