Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis

Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz

WS 2014/2015 07.01.2015

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

10. Übungsblatt

Aufgabe 55 (Übung)

a) Beweisen Sie den erweiterten Mittelwertsatz: Istf : [a, b]→Rstetig undg∈R[a.b] mit g>0 oderg60, so existiert einξ∈[a, b] mit

Z _b

a

f(x)g(x) dx=f(ξ) Z _b

a

g(x) dx.

Folgern Sie daraus den Mittelwertsatz der Integralrechnung: Istf : [a, b]→Rstetig, so existiert einξ∈[a, b] mit

Z _b

a

f(x) dx=f(ξ)(b−a).

b) Seia∈Rfest. Untersuchen Sie die folgenden Ausdrücke auf Konvergenz berechnen Sie im Falle der Existenz den Grenzwert.

(i) lim

h→0+

1 h

Z _a+h

a−h

cos(x²) dx, (ii) lim

h→∞

1 h

Z_a+2h

a+h

log(x) dx, (iii) lim

h→0+

Z ₁

0

h^xcos(x) dx.

Aufgabe 56 (Tutorium)

a) Seia >0 undf : [−a, a]→Rstetig. Beweisen Sie: Istf gerade, alsof(−x) =f(x) für alle x∈[−a, a], so gilt

Z_a

−a

f(x) dx= 2 Z _a

0

f(x) dx.

Istf ungerade, alsof(−x) =−f(x) für allex∈[−a, a], so gilt Z a

−a

f(x) dx= 0.

b) Zeigen Sie, dass die FunktionenF, G:R→R, definiert durchF(x) :=R_sin(x)

0 sin(e^t) dtund G(x) :=Rsin(x)

x sin(e^t) dtaufRdifferenzierbar sind und berechnen Sie jeweils die Ableitung.

Aufgabe 57 (Übung)

a) Leiten Sie mit Hilfe partieller Integration eine Rekursionsformel fürR

cosⁿ(x) dx(n∈N) her und zeigen Sie damit, dass fürk∈N

Z ^π

2

0

cos^2k(x) dx=π 2

Yk

j=1

2j−1 2j ,

Z ^π

2

0

cos^2k+1(x) dx= Yk

j=1

2j 2j+ 1.

HM1PHYS–10 07.01.2015 — bitte wenden —

b) Beweisen Sie, dass die Wallissche Produktfolge w_n:=

Yn

k=1

4k² 4k²−1 konvergiert mit lim_n→∞w_n= ^π₂.

Aufgabe 58 (Tutorium)

Bestimmen Sie die folgenden Integrale a)

Z₁

0

(1 + 2x)³dx,

d) Zπ/4

0

sin(x) cos(x) dx,

g) Z₄

1

arctan q√

x−1

! dx,

b) Z ₂

−2

|x−1|dx,

e) Z ₄

1

√ 1 x(1 +

√ x) dx, h)

Z 2 1

x³

(1 +x²)^3/2 dx,

c) Z 1/2

0

arcsin(x)

√

1−x² dx, f)

Z _e

1

1

x(1 + log(x))dx, i)

Z ₁

0

xe^(2x2)sin(e^(x2)) dx.

Erinnerung:arcsin⁰(x) =^√1

1−x², arctan⁰(x) = _1+x¹2, sin(^π/6) =¹₂, sin(^π/4) = cos(^π/4) =^√1

2. Aufgabe 59 (Übung)

a) SeiI ⊂R ein Intervall undf :I →R stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass sichf als Differenz zweier monoton wachsender, stetig differenzierbarer Funktionen schreiben lässt.

b) Beweisen Sie: Ista < bundf : [a, b]→Rstetig mitR_b

a |f(x)|dx= 0, so istf(x) = 0 für alle x∈[a, b].

Aufgabe 60 (Tutorium)

Bestimmen Sie, wo möglich, die folgenden unbestimmten Integrale.

a) Z

arcsin(x) dx,

d) Z r

1−x 1 +x dx,

b) Z

e

√ xdx,

e) Z

e^xsin(ax) dx,

c) Z

(log(x))²dx,

f)

Z 2x+ 1 x²+ 4x+ 8 dx.

HM1PHYS–10 07.01.2015