Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis
Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc.
WS 2015/2016 21.12.2015
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
10. Übungsblatt
Aufgabe 55 (Übung)
Finden Sie eine alternative Lösung zuAufgabe 51: Finden Sie ein offenes IntervallI ⊆Rmit 0∈I und eine differenzierbare Funktionf :I→Rmit
f0(x) +xf(x) = 0, f(0) = 1,
indem Sie annehmen, dassf sich aufIdurch einePotenzreihedarstellen lässt.
Aufgabe 56 (Tutorium)
Finden Sie eine alternative Lösung vonAufgabe 26(inR) mit Hilfe der Differentiation von Potenzreihen: Bestimmen Sie fürx∈(−1,1) den Wert der Reihen
a)
∞
X
n=1
nxn, b)
∞
X
n=1
n2xn.
Aufgabe 57 (Übung)
Bestimmen Sie eine reelle Potenzreihenentwicklung von Arsinh um den Entwicklungspunkt 0 und gehen Sie dabei analog zu Anwendung(2)nachSatz 10.13vor (Potenzreihenentwicklung von arctan).
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst eine Potenzreihenentwicklung von f : (−1,∞) →R, x 7→
(1 +x)−1/2um 0 (zum Beispiel über die Taylorreihenentwicklung).
Aufgabe 58 (Tutorium) Berechnen Sie das Integral
Z 1 0
exdx
anhand der Definition (vgl. Beispiel(3)nachLemma 11.1).
Aufgabe 59 (Übung)
a) Beweisen Sie den erweiterten Mittelwertsatz: Seienf : [a, b]→Rstetig undg∈R[a, b] mit g>0 oderg60 derart, dass auchf g∈R[a, b] ist. Dann existiert einξ∈[a, b] mit
Z b
a
f(x)g(x) dx=f(ξ) Z b
a
g(x) dx.
Folgern Sie daraus den Mittelwertsatz der Integralrechnung: Istf : [a, b]→Rstetig und f ∈R[a, b], so existiert einξ∈[a, b] mit
Z b a
f(x) dx=f(ξ)(b−a).
b) Untersuchen Sie die folgenden Ausdrücke auf Konvergenz berechnen Sie im Falle der Existenz den Grenzwert.
HM1PHYS–10 21.12.2015 — bitte wenden —
(i) lim
h→0+
1 h
Z
√ π/4+h
√ π/4−h
cos(x2) dx,(ii) lim
h→∞
1 h
Z2h
h
log(x) dx, (iii) lim
h→0+
Z 1 0
hxcos(x) dx.
Aufgabe 60 (Tutorium)
a) Seiena >0 undf : [−a, a]→Rintegrierbar. Beweisen Sie: Istf gerade, alsof(−x) =f(x) für allex∈[−a, a], so gilt
Za
−a
f(x) dx= 2 Z a
0
f(x) dx.
Istf ungerade, alsof(−x) =−f(x) für allex∈[−a, a], so gilt
Z a
−a
f(x) dx= 0.
b) Berechnen Sie folgende Integrale:
(i) Z π/6
−π/6
x2ecos2(x)sin3(x) dx, (ii) Z π/2
−π/2
sin2 x
2−π 4
dx,
Hinweis:Verwenden SieAufgabe 30b)für(ii).
Wir wünschen erholsame Weihnachtsfeiertage und einen guten Rutsch ins neue Jahr 2015 !
Quelle:http://static.nichtlustig.de/toondb/091223.html Urheber: Joscha Sauer
Modulprüfung
• DieModulprüfungfindet am07.03.2015von8 bis 10 Uhrstatt.
• DieAnmeldung zur Prüfungist ab sofort online unterhttps://campus.studium.kit.edu/exams/
index.phpmöglich
• Anmeldeschlussist der13.02.2015.
• Eine Abmeldung von der Prüfung ist bis zum 06.03.2015 (ebenfalls online) möglich.
• DieHörsaalverteilungwird bis Montag, den22.02.2015, auf der Webseite der Vorlesung.
• Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei beidseitig handbeschriebene DIN-A4-Blätter
HM1PHYS–10 21.12.2015
