Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Festkörperphysik

Übungsblatt # 10 zur Vorlesung Klassische Theoretische Physik III

Lösungen zu den Übungen

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Festkörperphysik

Dr. Giuseppe Toscano (giuseppe.toscano@kit.edu) Prof. Dr. Carsten Rockstuhl (carsten.rockstuhl@kit.edu)

Übung 1 - Helmholtz–Spulenpaar (3 Punkte)

Das Induktionsfeld der Leiterschleifen erhält man mittels Biot-Savart Gesetz B(r) = µ₀

4π X

i

Ii

ˆ

L

ds_i×(r−si)

|r−si|³ . (1) Man verwendet natürlich Zylinderkoordinaten und erhält

s₁=a

2e_z+Re_r s2=−a

2ez+Rer

r=zez

ds_i =Rdϕ_ie_ϕ daraus folgt dann

ds1×(r−s1) =Rdϕ1eϕ×

zez−a

2ez−Rer

=R²dϕ1ez+Rdϕ1

z−a

2

er

ds₂×(r−s2) =Rdϕ₂ez+Rdϕ₂ z+a

2

er. Daraus folgt für diez−Komponente des B-Feldes nach einsetzen in Gln. 1

Bz(z) = µ0R²I 4π





 ˆ 2π

0

dϕ1

h

R²+ z−^a₂2i³₂ +

ˆ 2π 0

dϕ2

h

R²+ z+^a₂2i³₂







= µ0IR² 2

( R²+

z−a 2

2⁻³₂ +

R²+

z+a 2

2⁻³₂) .

Jetzt bleibt nur noch zu klären für welches Verhältnis R/a die z−Komponente im Ursprung maximal homogen wird. Dazu einfach den Ausdruck für das B-Feld in eine Taylor-Reihe umz= 0 entwickeln

Bz(z)∼ µ0IR² R²+^a₄^23/2

(

1 + 1

2 R²+^a₄²

−3 + 15a² 4 (R²+a²/4)

z²+O(z⁴) )

1

Bz(z) ist maximal homogen, wenn der Term proportional zuz²verschwindet, wenn also

−12

R²+a² 4

+ 15a²= 0 =⇒R=a

Ist der Abstand der Spulen genauso groß wie der Spulenradius, so ist das B-Feld in der Umgebung des Ursprungs maximal homogen.

Übung 2 - Oberflächenströme der homogen magnetisierten Kugel (5 Punkte)

Wir betrachten ein kleines Volumenelement an der Kugeloberfläche, das von den FlächenelementendA= (R+)²sinθdθdφer und −(R−)²sinθdθdφer begrenzt ist (mit → 0). Aus ∇ ·B = 0 (gilt überall, auch beir≈R) folgt¸

adA·B= 0. Hieraus ergibt sich sofortBr(R+)−Br(R−) = 0.

Das skizzierte viereckige Element sei nun ein kleines Flächenelement. Seine KonturC besteht (abge- sehen von infinitesimalen Zwischenstücken) aus den Wegelementendr= (R+)dθe_θ und−(R−)dθe_θ. Hierauf wenden wir das Ampere-Gesetz an:

(Bθ(R+)−Bθ(R−))Rdθ=µ0

I(θ) πR

ˆ R+

R−

drrdθδ(r−R) =µ₀I(θ) π dθ.

Hieraus folgt die zweite Bedingung. Die sphärischen Komponenten des gegebenen Magnetsfelds sind:

Br=B0cosθ, Bθ=−B0sinθ, Bφ= 0 (r≤R), B_r= µ0

4π

2mcosθ

r³ , B_θ= µ0

4π msinθ

r³ , B_φ= 0 (r > R).

Wenn wir dies inBr(R+)−Br(R−) = 0 undBθ(R+)−Bθ(R−) = ^µ0_πR^I(θ) einsetzen, erhalten wir das magnetische Moment und den Oberflächenstrom:

m= 2π µ0

B₀R³, I(θ) = m

R² +B₀4π µ0

R

sinθ= 3m R² sinθ

Übung 3 - Kraft und Drehmoment zwischen zwei kreisförmigen Leitern (3 Punkte)

In großem AbstandLR gilt für das Induktionsfeld einer kleinen Leiterschleife mit RadiusR:

B(r) = µ₀ 4π

3r(m₁·r) r⁵ − µ₀

4π m1

r³ (r=L) mit

m1=IπR²n m2=IπR²n

wobeinein Einheitsvektor ist. Das Koordinatensystem soll so gewählt sein, dass die Dipole in der (x, y) Ebene liegen und,n=ex. Die Energie zweier magnetischer Dipole ist

U =−m2·B(r) =−µ0

4π

3(m1·r)(m2·r) r⁵ + µ0

4π

m1·m2

r² =−µ0

4π m²

r³(3 cos²(θ)−1) Die Kraft kann daraus wie folgt bestimmt werden

F=−∇U =

er

∂

∂r+eθ

1 r

∂

∂θ

(m·B) = µ0

4π

−er

3m²

r⁴ (3 cos²(θ)−1)−6m²

r⁴ cos(θ) sin(θ)eθ

= µ₀ 4π

3m² L⁴

(1−3 cos²(θ))e_r−sin(2θ)e_θ

Dabei wurde verwendetm1=m2=m. Das Drehmoment lautet:

M=m×B= µ0

4πm²[ex×r]3 cos(θ) r⁴ =−µ0

4π

3m²cos(θ) L³ ez

2