Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis

Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz

WS 2014/2015 10.11.2014

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

4. Übungsblatt

Aufgabe 19 (Übung)

a) Seien (a_n) und (b_n) reelle, beschränkte Folgen. Zeigen Sie, dass lim sup

n→∞

(a_n+b_n)6lim sup

n→∞

a_n+ lim sup

n→∞

b_n

und finden Sie ein Beispiel um zu zeigen, dass im Allgemeinen keine Gleichheit gilt.

b) (i) Zeigen Sie, dass jede reelle Zahlx∈[0,1) eine eindeutige Dezimaldarstellung besitzt, wenn man Neunerperioden ausschließt. Also: Zu jedemx∈[0,1) existiert genau eine Folge (a_n) mit

• a_n∈ {0, . . . ,9} ∀n∈N,

• ∀N ∈N∃n>N : a_n,9,

• x=P∞

n=1a_n10⁻ⁿ.

(ii) Beweisen Sie, dassRüberabzählbar ist Aufgabe 20 (Tutorium)

a) Bestimmen Sie alle Häufungswerte von (a_n) und geben Sie lim inf

n→∞ a_nund lim sup

n→∞

a_nan.

(i) a_n= (1 + (−1)ⁿ)ⁿ. (ii) a_n=











1 +₂¹n, n= 3k für eink∈N 2, n= 3k−1 für eink∈N 2 +ⁿ⁺¹_n , n= 3k−2 für eink∈N

b) SeienM₁undM₂zwei abzählbare Mengen. Zeigen Sie, dass auchM₁×M₂abzählbar ist.

Hinweis:Zeigen Sie zunächst, dassN×Nabzählbar ist und geben Sie dann eine surjektive Abbildung vonN×NnachM₁×M₂an.

Aufgabe 21 (Übung) Betrachten Sie die Reihe

∞

X

n=1

1 +¹₂(−1)ⁿn

n²

a) Was kann man mit dem Quotientenkriterium über die Konvergenz der obigen Reihe sagen?

b) Was kann man mit dem Wurzelkriterium über die Konvergenz der obigen Reihe sagen?

HM1PHYS–4 10.11.2014 — bitte wenden —

Aufgabe 22 (Tutorium) Fürn∈Nseia_n:=^√1

n+⁽⁻¹⁾_nⁿ⁺¹.

a) Zeigen Sie: Es gilta_n>0 für allen∈Nund lim_n→∞a_n= 0.

b) Zeigen Sie, dass die ReiheP∞

n=1(−1)ⁿa_ndivergent ist.

c) Warum ist das Leibnizkriterium hier nicht anwendbar?

Aufgabe 23 (Übung)

a) Beweisen Sie denCauchyschen Verdichtungssatz: Ist (a_n) eine monoton fallende Folge mit a_n>0 für allen∈N, so gilt

∞

X

n=1

a_n konvergiert ⇐⇒

∞

X

k=0

2^ka₂k konvergiert.

b) Sei 0< q∈Q. Zeigen Sie, dass

∞

X

n=1

1

n^q konvergiert ⇐⇒ q >1.

Aufgabe 24 (Tutorium)

Untersuchen Sie die nachstehenden Reihen auf (absolute) Konvergenz.

a)

∞

X

n=1

n−1 n

!n

b)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ5²ⁿ⁻¹ 2⁵ⁿ c)

∞

X

n=1

n

√ n n!

d)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ 2n+ (−1)ⁿ

e)

∞

X

n=1

n!

nⁿ

f)

∞

X

n=1

1 2ⁿ

n+ 1 n

!n²

g)

∞

X

n=1

(−1)ⁿ 1

n+ 1− 1 n+ 2

!

h)

∞

X

n=1

5n 4n

!⁻1

i)

∞

X

n=1

n+ 4 n²−3n+ 1 j)

∞

X

n=1

n^kqⁿ, k∈N,|q|<1

k)

∞

X

n=1

√

n+ 1−√

√ n n l)

∞

X

n=1

iⁿ n

Modulprüfung

• DieModulprüfungfindet am04.03.2015von8 bis 10 Uhrstatt.

• DieAnmeldung zur Prüfungist ab sofort online unterhttps://studium.kit.edu/Seiten/Default.

aspxmöglich

• Anmeldeschlussist der15.02.2015.

• Eine Abmeldung von der Prüfung ist bis zum 03.03.2015 (ebenfalls online) möglich.

• DieHörsaalverteilungwird am19.02.2015auf der Webseite der Vorlesung und am schwarzen Brett neben Zimmer 3A-17 im Allianzgebäude bekannt gegeben.

• Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei beidseitig handbeschriebene DIN-A4-Blätter

• DieEinsichtfindet am15.04.2015von16 bis 18 UhrimHörsaal am Fasanengarten(Geb. 50.35) statt.

HM1PHYS–4 10.11.2014