Es gilt

Bemerkung: F is nach Lemma 144 und anschließender Bemerkung eine Bijektion.

Lemma 147

Seien ~a,~b ∈ C ⁿ so, dass auch ~a ∗ ~b ∈ C ⁿ . Dann gilt F (~a ∗ ~b) = F(~a) · F ( ~b).

Beweis:

Es gilt

F(~a) · F ( ~b) = (P _{~ a} (1)P _~b (1), P _{~ a} (ω)P _~b (ω), . . . , P _{~ a} (ω ⁿ⁻¹ )P _~b (ω ⁿ⁻¹ ))

= (P _{~ c} (1), P _{~ c} (ω), . . . , P _{~ c} (ω ⁿ⁻¹ ))

= F (~ c), mit ~ c = ~a ∗ ~b.

Idee: Berechne ~a ∗ ~b verm¨ oge F ⁻¹ (F(~a) · F ( ~b)). Die komponentenweise Multiplikation F(~a) · F ( ~b) ben¨ otigt nur O(n) Operationen.

Jedoch: F ist eine lineare Abbildung F(~a) = F~a, mit F = (ω ^kl ) 0≤l,k≤n−1 . Die Matrixmultiplikation ben¨ otigt aber Ω(n ² ) Operationen (also keine offensichtliche Verbesserung im Vergleich zur klassischen Polynom-Multiplikation)!

Ausweg: ”Divide and Conquer”!!!

3.5.2 Berechnung der diskreten Fouriertransformation (FFT) Sei n = 2 ^k eine 2er-Potenz. Zerlege ~a = (a 0 , . . . , a n−1 ) in einen

geraden Anteil ~a _g = (a ₀ , a ₂ , . . . , a n−2 ) und einen ungeraden Anteil ~a _u = (a ₁ , a ₃ , . . . , a n−1 )

Dann gilt:

P _{~ a} (x) = P _{~ a}

(x ² ) + xP _{~ a}

(x ² ) .

Beispiel 148

Sei ~a = (1, 2, 4, 8), also P _{~ a} (x) = 1 + 2x + 4x ² + 8x ³ . Damit ist ~a g = (1, 4) und

~a _u = (2, 8), also

P _{~ a}

(x ² ) + xP _{~ a}

(x ² )

= 1 · (x ² ) ⁰ + 4 · (x ² ) ¹ + x · (2 · (x ² ) ⁰ + 8 · (x ² ) ¹ )

= 1 + 2 · x + 4 · x ² + 8 · x ³

Lemma 149 Ist F

2

,ω

(~a _g ) = (c ₀ , . . . , c

2

−1 ) und F

2

,ω

(~a _u ) = (d ₀ , . . . , d

2

−1 ), so gilt F _n,ω (~a) = (e ₀ , . . . , e n−1 ) mit

e _i = P _{~ a} (ω ⁱ )

= P _{~ a}

(ω ²ⁱ ) + ω ⁱ P _{~ a}

(ω ²ⁱ )

= c i + ω ⁱ d i

e

2

+i = P _{~ a} (ω

⁺ⁱ )

= P _{~ a}

(ω ²⁽

⁺ⁱ⁾ ) + ω

⁺ⁱ P _{~ a}

(ω ²⁽

⁺ⁱ⁾ )

= c _i + ω

⁺ⁱ d _i

f¨ ur i = 0, . . . , ⁿ ₂ − 1.

Bem.: ω ² ist primitive ⁿ ₂ -te Einheitswurzel. Nat¨ urlich ist ω ²

= 1.

Dies liefert folgenden Divide-and-Conquer-Algorithmus:

DFT(~a,ω)

Eingabe: ~a = (a 0 , . . . , a _n−1 ), n = 2 ^k , ω Ausgabe: F n,ω (~a) = (e 0 , . . . , e _n−1 )

if n = 1 then e 0 := a 0

else

~a _g := (a ₀ , a ₂ , . . . , a _n−2 )

~a u := (a 1 , a 3 , . . . , a n−1 ) (c 0 , . . . , c

2

−1 ) :=DFT( ~a g , ω ² ) (d 0 , . . . , d

2

−1 ) :=DFT(~a u , ω ² ) for i = 0 to ⁿ ₂ − 1 do

e i := c i + ω ⁱ d i

e

2

+i := c i + ω

⁺ⁱ d i

endfor endif

return(e 0 , . . . , e n−1 )

Satz 150

Der Algorithmus DFT berechnet F _n,ω (~a) auf Eingabe n = 2 ^k , ~a, ω in T(n) = O(n log n) Operationen.

Beweis:

Aus dem Algorithmus erh¨ alt man folgende Rekursion T (n) = 2T(n/2) + cn

mit einer Konstante c > 0 und T (1) = 1. Mit n = 2 ^k folgt

T (2 ^k ) = 2T (2 ^k−1 ) + cn = 2(2T (2 ^k−2 ) + cn/2) + cn

= . . . = 2 ^{`</sup> T(2 <sup>k−`} ) + `cn

Speziell f¨ ur ` = k gilt T (2 ^k ) = kc2 ^k + 2 ^k T (1), und wir erhalten

T(2 ^k ) = O(2 ^k k) = O(n log n).

3.5.3 Berechnung der inversen diskreten Fouriertransformation Satz 151

Es gilt

F _n,ω ⁻¹ = 1

n F _n,ω

.

Bemerkung: ω ⁻¹ ist ebenso eine primitive n-te Einheitswurzel.

Zum Beweis von Satz 151 ben¨ otigen wir folgendes Lemma:

Lemma 152

Ist ω eine primitive n-te Einheitswurzel, so gilt

n−1

X

j=0

ω ^kj = 0

f¨ ur alle k = 1, . . . , n − 1.

Beweis:

F¨ ur jedes a ∈ C , a 6= 1, gilt P n−1

j=0 a ^j = ^a _a−1

⁻¹ . Speziell f¨ ur a = ω ^k ist a ⁿ = ω ^kn = 1, (k = 1, . . . , n − 1).

Nun zum Beweis von Satz 151.

Beweis:

Sei ~ e = F _n,ω (~a) = (e 0 , . . . , e n−1 ). Wir zeigen, dass gilt:

1

n F _n,ω

(~ e) = ~a

P _{~ e} (ω ^−k ) =

n−1

X

j=0

e _j ω ^−kj =

n−1

X

j=0

P _{~ a} (ω ^j )ω ^−kj

=

n−1

X

j=0 n−1

X

i=0

a i ω ^ij ω ^−kj =

n−1

X

i=0

a i n−1

X

j=0

ω ^(i−k)j = na k ,

denn nach Lemma 152 ist P n−1

j=0 ω ^(i−k)j = 0, falls i 6= k.

Im Fall i = k gilt P n−1

ω ^(i−k)j = n.

3.6 Restklassen in Polynomringen 3.6.1 Einf¨ uhrung und Definitionen

Der Begriff der Restklasse stammt urspr¨ unglich aus der Teilbarkeitslehre in Z; (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring).

Definition 153

Sei n eine fest gew¨ ahlte ganze Zahl 6= 0. F¨ ur jedes ` ∈ Z heißt die Menge [`] n := {m ∈ Z : m − ` ist durch n teilbar}

die Restklasse von ` modulo n.

Bemerkungen

1

F¨ ur `, m ∈ Z gilt:

m ∈ [`] n ⇐⇒ m mod n = ` mod n .

Gilt m ∈ [`] <sub>n</sub> , so schreibt man auch m ≡ ` mod n oder m = ` mod n und spricht

” m kongruent ` modulo n“.

2

Es gilt [`] <sub>n</sub> = {` + kn : k ∈ Z } =: ` + n Z =: ` + (n).

3

Da es genau n verschiedene Reste 0, 1, . . . , n − 1 gibt, gibt es auch genau n

verschiedene Restklassen [0] _n , [1] _n , . . . , [n − 1] _n .

Bemerkungen

4

Kongruenz modulo n definiert auf Z eine ¨ Aquivalenzrelation ∼ _n : m ∼ _n ` : ⇐⇒ n teilt m − `, und [`] n ist die ¨ Aquivalenzklasse von `.

5

Auf der Menge aller Restklassen [`] n kann man Addition und Multiplikation wie folgt definieren

[`] n + n [m] n := [` + m] n , [`] n · <sub>n</sub> [m] n := [` · m] n ,

und erh¨ alt einen kommutativen Ring; er heißt der Restklassenring Z modulo n und wird mit Z /(n) oder Z /n Z oder Z n bezeichnet.

6

Die Abbildung ( Z , +, ·) → ( Z n , + n , · _n ), ` 7→

” Rest der Division von ` durch n“ ist

ein Ringhomomorphismus.