Schl¨ usselw¨ orter: WHILE DO END

(1)

1.2 WHILE-Berechenbarkeit

WHILE-Programme sind wie folgt definiert:

Variablen: x 1 , x 2 , x 3 , . . . Konstanten: 0, 1, 2, . . . Trennsymbole: ; :=

Operatoren: + - 6=

Schl¨ usselw¨ orter: WHILE DO END

Info IV 1.2 WHILE-Berechenbarkeit 190/206

c

Ernst W. Mayr

(2)

Der Aufbau von WHILE-Programmen:

x i := c, x i := x j + c, x i := x j − c sind WHILE-Programme Die Interpretation dieser Ausdr¨ ucke erfolgt, wie ¨ ublich, mit der Einschr¨ ankung, dass x _j − c als 0 gewertet wird, falls c > x _j . Sind P ₁ und P ₂ WHILE-Programme, so ist auch

P ₁ ; P ₂ ein WHILE-Programm.

Interpretation: F¨ uhre zuerst P ₁ und dann P ₂ aus.

Ist P ein WHILE-Programm, so ist auch WHILE x i 6= 0 DO P END ein WHILE-Programm.

Interpretation: F¨ uhre P solange aus, bis x i den Wert 0 hat.

Achtung: Zuweisungen an x _i im Innern von P beeinflussen dabei den Wert von x i !

c

Ernst W. Mayr

(3)

Satz 117

Ist eine Funktion WHILE-berechenbar, so ist sie auch Turing-berechenbar.

Beweis:

Die Turingmaschine merkt sich den Programmz¨ ahler des

WHILE-Programms sowie die aktuellen Werte aller Variablen. Der Platz daf¨ ur muss notfalls immer wieder angepasst werden.

Wir werden sp¨ ater auch die umgekehrte Aussage des obigen Satzes zeigen.

c

Ernst W. Mayr

(4)

1.3 GOTO-Berechenbarkeit

GOTO-Programme sind wie folgt definiert:

Variablen: x 1 , x 2 , x 3 , . . . Konstanten: 0, 1, 2, . . . Trennsymbole: ; :=

Operatoren: + - =

Schl¨ usselw¨ orter: IF THEN GOTO HALT

Info IV 1.3 GOTO-Berechenbarkeit 193/206

c

Ernst W. Mayr

(5)

Ein GOTO-Programm ist eine Folge von markierten Anweisungen M ₁ : A ₁ ; M ₂ : A ₂ ; . . . ; M _k : A _k

wobei die A _i Anweisungen und die M _i Zielmarken f¨ ur Spr¨ unge sind.

Als Anweisungen k¨ onnen auftreten:

Wertzuweisung: x _i := x _j ± c unbedingter Sprung: GOTO M i

bedingter Sprung: IF x j = c THEN GOTO M i

Stopanweisung: HALT

Dabei ist c jeweils eine (beliebige) Konstante.

c

Ernst W. Mayr

(6)

Satz 118

Jedes WHILE-Programm kann durch ein GOTO-Programm simuliert werden.

Beweis:

Ersetze jede WHILE-Schleife WHILE x _i 6= 0 DO P END durch folgendes Konstrukt:

M ₁ : IF x _i = 0 THEN GOTO M ₂ P ;

GOTO M 1

M ₂ : . . .

c

Ernst W. Mayr

(7)

Satz 119

Jedes GOTO-Programm kann durch ein WHILE-Programm simuliert werden.

c

Ernst W. Mayr

(8)

Beweis:

Gegeben sei das GOTO-Programm

M ₁ : A ₁ ; M ₂ : A ₂ ; . . . ; M _k : A _k

Wir simulieren dies durch ein WHILE-Programm mit genau einer WHILE-Schleife:

c := 1;

WHILE c 6= 0 DO

IF c = 1 THEN A ⁰ ₁ END;

IF c = 2 THEN A ⁰ ₂ END;

.. .

IF c = k THEN A ⁰ _k END;

END

Info IV 197/206

c

Ernst W. Mayr

(9)

Beweis:

wobei

A ⁰ _i :=



 



 



x _j := x _l ± b; c := c + 1 falls A _i = x _j := x _l ± b

c := ` falls A i = GOTO M _`

IF x _j = b THEN c := ` falls A _i = IF x _j = b THEN

ELSE c := c + 1 END GOTO M `

c := 0 falls A _i = HALT

Es bleibt als ¨ Ubungsaufgabe ¨ uberlassen, die IF-Anweisungen ebenfalls durch WHILE-Schleifen zu ersetzen.

c

Ernst W. Mayr

(10)

Satz 120

Aus Turing-Berechenbarkeit folgt GOTO-Berechenbarkeit.

Beweis:

Die Konfiguration (α, q, β) einer (det.) 1-Band-TM wird in den Variablen x _l , x Q , x r codiert. Die Zeichenreihen α und β werden als Zahlen (zu einer geeigneten Basis) aufgefasst, mit der

niedrigstwertigen Ziffer bei der Position des Lese-/Schreibkopfes.

Jedes Tupel der ¨ Ubergangsfunktion der TM wird durch ein geeignetes kleines Programmst¨ uck simuliert. Dabei werden Operationen wie Multiplikation mit, Division durch und Modulorechnung zur Basis ben¨ otigt.

c

Ernst W. Mayr

(11)

1.4 Primitiv-rekursive Funktionen

Betrachte die kleinste Klasse der Funktion N ^k ₀ → N 0 , f¨ ur die gilt:

1

Sie enth¨ alt die konstanten Funktionen.

2

Sie enth¨ alt die Nachfolgerfunktionen: n 7→ n + 1.

3

Sie enth¨ alt die Projektionsfunktionen:

proj _k,i : N ^k ₀ 3 (x 1 , . . . , x k ) 7→ x i ∈ N 0

4

Sie ist abgeschlossen unter Komposition.

5

Sie ist abgeschlossen unter primitiver Rekursion, d.h. mit g : N ⁿ 0 → N 0

h : N ⁿ⁺² ₀ → N 0

ist auch

f (0, y 1 , . . . , y n ) := g(y 1 , . . . , y n )

f(m + 1, y ₁ , . . . , y _n ) := h(f (m, y ₁ , . . . , y _n ), m, y ₁ , . . . , y _n ) (primitive Rekursion) in der Klasse (und sonst nichts).

Info IV 1.4 Primitiv-rekursive Funktionen 199/206

c

Ernst W. Mayr

(12)

Die soeben definierte Funktionenklasse sind die primitiv-rekursiven Funktionen.

Beispiel 121

Die folgenden Funktionen sind primitiv-rekursiv:

1

(x, y) 7→ x + y;

2

(x, y) 7→ x ∗ y;

3

(x, y) 7→ max{x − y, 0};

4

x 7→ 2 ^x ;

5

x 7→ 2 ²

²

...2

(Turm der H¨ ohe x).

c

Ernst W. Mayr

(13)

Satz 122

Jede primitiv-rekursive Funktion ist total.

Beweis:

Induktion ¨ uber den Aufbau einer primitiv-rekursiven Funktion.

Satz 123

Jede primitiv-rekursive Funktion ist berechenbar.

Beweis:

Induktion ¨ uber den Aufbau einer primitiv-rekursiven Funktion.

Korollar 124

Die primitiv-rekursiven Funktionen sind eine echte Teilklasse der berechenbaren totalen Funktionen.

Es gibt nicht-totale berechenbare Funktionen.

c

Ernst W. Mayr

(14)

Definition 125

Sei P (x) ein Pr¨ adikat, d.h. ein logischer Ausdruck, der in Abh¨ angigkeit von x ∈ N 0 den Wert true oder false liefert. Dann k¨ onnen wir diesem Pr¨ adikat in nat¨ urlicher Weise eine 0-1 Funktion

P ˆ : N 0 → {0, 1}

zuordnen, indem wir definieren, dass P ˆ (x) = 1 genau dann, wenn P(x) = true ist.

Wir nennen P (x) primitiv-rekursiv genau dann, wenn P(x) ˆ primitiv-rekursiv ist.

c

Ernst W. Mayr

(15)

Definition 126

Beschr¨ ankter max-Operator: Zu einem Pr¨ adikat P (x) definieren wir q : N 0 → N 0

n 7→

( 0 falls ¬P (x) f¨ ur alle x < n max{x < n; P (x)} sonst

Dann gilt: Ist P primitiv-rekursiv, so auch q, denn:

q(0) = 0

q(n + 1) =

( n falls P(n) q(n) sonst

= q(n) + ˆ P(n) ∗ (n − q(n))

c

Ernst W. Mayr

(16)

Definition 127

Beschr¨ ankter Existenzquantor: Zu einem Pr¨ adikat P (x) definieren wir ein neues Pr¨ adikat Q(x) mittels:

Q(n) ist genau dann true, wenn ein x < n existiert, so dass P(x) = true.

Dann gilt: Ist P primitiv-rekursiv, so auch Q, denn:

Q(0) = 0 ˆ

Q(n ˆ + 1) = ˆ P (n) + ˆ Q(n) − P ˆ (n) ∗ Q(n) ˆ

c

Ernst W. Mayr

(17)

Beispiel 128

Zur bijektiven Abbildung von 2-Tupeln (bzw. n-Tupeln bei iterierter Anwendung der Paarbildung) nat¨ urlicher Zahlen in die Menge der nat¨ urlichen Zahlen verwendet man eine Paarfunktion, z.B.:

0 1 2 3 4 · · · n ₂

0 0 2 5 9 14

1 1 4 8 13

2 3 7 12

3 6 11

.. . n 1

Info IV 205/206

c

Ernst W. Mayr

(18)

Beispiel 128

Zur bijektiven Abbildung von 2-Tupeln (bzw. n-Tupeln bei iterierter Anwendung der Paarbildung) nat¨ urlicher Zahlen in die Menge der nat¨ urlichen Zahlen verwendet man eine Paarfunktion, z.B.:

Betrachte: p : N ² ₀ → N 0 mit

p(n ₁ , n ₂ ) := ⁽ⁿ

¹

⁺ⁿ

²

⁾⁽ⁿ ₂

¹

⁺ⁿ

²

⁺¹⁾ + n ₂

c ₁ : N 0 → N 0

c ₁ (n) := s − (n − ^s(s+1) ₂ ); wobei s := max{i; ⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾ ₂ ≤ n}

c 2 : N 0 → N 0

c ₂ (n) := n − ^s(s+1) ₂ , s wie oben

c

Ernst W. Mayr

(19)

Satz 129

1

p stellt eine primitiv-rekursive, bijektive Paarfunktion von N ² ₀ nach N 0 mit den Umkehrfunktionen c 1 und c 2 dar.

2

Die Umkehrfunktionen c ₁ , c ₂ sind ebenfalls primitiv-rekursiv.

Beweis:

Ubungsaufgabe. ¨

c

Ernst W. Mayr

Schl¨ usselw¨ orter: WHILE DO END

1.2 WHILE-Berechenbarkeit

WHILE-Programme sind wie folgt definiert:

Variablen: x 1 , x 2 , x 3 , . . . Konstanten: 0, 1, 2, . . . Trennsymbole: ; :=

Operatoren: + - 6=

Schl¨ usselw¨ orter: WHILE DO END

Der Aufbau von WHILE-Programmen:

x i := c, x i := x j + c, x i := x j − c sind WHILE-Programme Die Interpretation dieser Ausdr¨ ucke erfolgt, wie ¨ ublich, mit der Einschr¨ ankung, dass x j − c als 0 gewertet wird, falls c > x j . Sind P 1 und P 2 WHILE-Programme, so ist auch

P 1 ; P 2 ein WHILE-Programm.

Interpretation: F¨ uhre zuerst P 1 und dann P 2 aus.

Ist P ein WHILE-Programm, so ist auch WHILE x i 6= 0 DO P END ein WHILE-Programm.

Interpretation: F¨ uhre P solange aus, bis x i den Wert 0 hat.

Achtung: Zuweisungen an x i im Innern von P beeinflussen dabei den Wert von x i !

Satz 117

Ist eine Funktion WHILE-berechenbar, so ist sie auch Turing-berechenbar.

Beweis:

Die Turingmaschine merkt sich den Programmz¨ ahler des

WHILE-Programms sowie die aktuellen Werte aller Variablen. Der Platz daf¨ ur muss notfalls immer wieder angepasst werden.

Wir werden sp¨ ater auch die umgekehrte Aussage des obigen Satzes zeigen.

1.3 GOTO-Berechenbarkeit

GOTO-Programme sind wie folgt definiert:

Variablen: x 1 , x 2 , x 3 , . . . Konstanten: 0, 1, 2, . . . Trennsymbole: ; :=

Operatoren: + - =

Schl¨ usselw¨ orter: IF THEN GOTO HALT

Ein GOTO-Programm ist eine Folge von markierten Anweisungen M 1 : A 1 ; M 2 : A 2 ; . . . ; M k : A k

wobei die A i Anweisungen und die M i Zielmarken f¨ ur Spr¨ unge sind.

Als Anweisungen k¨ onnen auftreten:

Wertzuweisung: x i := x j ± c unbedingter Sprung: GOTO M i

bedingter Sprung: IF x j = c THEN GOTO M i

Stopanweisung: HALT

Dabei ist c jeweils eine (beliebige) Konstante.

Satz 118

Jedes WHILE-Programm kann durch ein GOTO-Programm simuliert werden.

Beweis:

Ersetze jede WHILE-Schleife WHILE x i 6= 0 DO P END durch folgendes Konstrukt:

M 1 : IF x i = 0 THEN GOTO M 2 P ;

GOTO M 1

M 2 : . . .

Satz 119

Jedes GOTO-Programm kann durch ein WHILE-Programm simuliert werden.

Beweis:

Gegeben sei das GOTO-Programm

M 1 : A 1 ; M 2 : A 2 ; . . . ; M k : A k

Wir simulieren dies durch ein WHILE-Programm mit genau einer WHILE-Schleife:

c := 1;

WHILE c 6= 0 DO

IF c = 1 THEN A 0 1 END;

IF c = 2 THEN A 0 2 END;

.. .

IF c = k THEN A 0 k END;

END

Beweis:

wobei

A 0 i :=



 

 

 



 

 

 



x j := x l ± b; c := c + 1 falls A i = x j := x l ± b

c := ` falls A i = GOTO M `

IF x j = b THEN c := ` falls A i = IF x j = b THEN

ELSE c := c + 1 END GOTO M `

c := 0 falls A i = HALT

Es bleibt als ¨ Ubungsaufgabe ¨ uberlassen, die IF-Anweisungen ebenfalls durch WHILE-Schleifen zu ersetzen.

Satz 120

Aus Turing-Berechenbarkeit folgt GOTO-Berechenbarkeit.

Beweis:

Die Konfiguration (α, q, β) einer (det.) 1-Band-TM wird in den Variablen x l , x Q , x r codiert. Die Zeichenreihen α und β werden als Zahlen (zu einer geeigneten Basis) aufgefasst, mit der

niedrigstwertigen Ziffer bei der Position des Lese-/Schreibkopfes.

Jedes Tupel der ¨ Ubergangsfunktion der TM wird durch ein geeignetes kleines Programmst¨ uck simuliert. Dabei werden Operationen wie Multiplikation mit, Division durch und Modulorechnung zur Basis ben¨ otigt.

1.4 Primitiv-rekursive Funktionen

Betrachte die kleinste Klasse der Funktion N k 0 → N 0 , f¨ ur die gilt:

Sie enth¨ alt die konstanten Funktionen.

Sie enth¨ alt die Nachfolgerfunktionen: n 7→ n + 1.

Sie enth¨ alt die Projektionsfunktionen:

x i := c, x i := x j + c, x i := x j − c sind WHILE-Programme Die Interpretation dieser Ausdr¨ ucke erfolgt, wie ¨ ublich, mit der Einschr¨ ankung, dass x _j − c als 0 gewertet wird, falls c > x _j . Sind P ₁ und P ₂ WHILE-Programme, so ist auch

P ₁ ; P ₂ ein WHILE-Programm.

Interpretation: F¨ uhre zuerst P ₁ und dann P ₂ aus.

Achtung: Zuweisungen an x _i im Innern von P beeinflussen dabei den Wert von x i !

Ein GOTO-Programm ist eine Folge von markierten Anweisungen M ₁ : A ₁ ; M ₂ : A ₂ ; . . . ; M _k : A _k

wobei die A _i Anweisungen und die M _i Zielmarken f¨ ur Spr¨ unge sind.

Wertzuweisung: x _i := x _j ± c unbedingter Sprung: GOTO M i

Ersetze jede WHILE-Schleife WHILE x _i 6= 0 DO P END durch folgendes Konstrukt:

M ₁ : IF x _i = 0 THEN GOTO M ₂ P ;

M ₂ : . . .

M ₁ : A ₁ ; M ₂ : A ₂ ; . . . ; M _k : A _k

IF c = 1 THEN A ⁰ ₁ END;

IF c = 2 THEN A ⁰ ₂ END;

IF c = k THEN A ⁰ _k END;

A ⁰ _i :=

x _j := x _l ± b; c := c + 1 falls A _i = x _j := x _l ± b

c := ` falls A i = GOTO M _`

IF x _j = b THEN c := ` falls A _i = IF x _j = b THEN

c := 0 falls A _i = HALT

Die Konfiguration (α, q, β) einer (det.) 1-Band-TM wird in den Variablen x _l , x Q , x r codiert. Die Zeichenreihen α und β werden als Zahlen (zu einer geeigneten Basis) aufgefasst, mit der

Betrachte die kleinste Klasse der Funktion N ^k ₀ → N 0 , f¨ ur die gilt:

proj _k,i : N ^k ₀ 3 (x 1 , . . . , x k ) 7→ x i ∈ N 0

Sie ist abgeschlossen unter primitiver Rekursion, d.h. mit g : N ⁿ 0 → N 0

h : N ⁿ⁺² ₀ → N 0

f(m + 1, y ₁ , . . . , y _n ) := h(f (m, y ₁ , . . . , y _n ), m, y ₁ , . . . , y _n ) (primitive Rekursion) in der Klasse (und sonst nichts).

x 7→ 2 ^x ;

x 7→ 2 ²

0 1 2 3 4 · · · n ₂

Betrachte: p : N ² ₀ → N 0 mit

p(n ₁ , n ₂ ) := ⁽ⁿ

⁺ⁿ

⁾⁽ⁿ ₂

⁺ⁿ

⁺¹⁾ + n ₂

c ₁ : N 0 → N 0

c ₁ (n) := s − (n − ^s(s+1) ₂ ); wobei s := max{i; ⁱ⁽ⁱ⁺¹⁾ ₂ ≤ n}

c ₂ (n) := n − ^s(s+1) ₂ , s wie oben

p stellt eine primitiv-rekursive, bijektive Paarfunktion von N ² ₀ nach N 0 mit den Umkehrfunktionen c 1 und c 2 dar.

Die Umkehrfunktionen c ₁ , c ₂ sind ebenfalls primitiv-rekursiv.