Oktober 2010 IWR, Universit¨at Heidelberg U¨BUNG1 VEKTORANALYSIS INKUGELKOORDINATEN Die Kugelkoordinaten (r, θ, φ) sind relativ zu den Kartesischen Koordinaten (x, y, z) durch die Beziehungen x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ y = rcosθ gegeben

Numerik Partieller Differentialgleichungen, Wintersemester 2010/2011 Aufgabenblatt 1

Prof. Peter Bastian Abgabe 29. Oktober 2010

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 VEKTORANALYSIS INKUGELKOORDINATEN

Die Kugelkoordinaten (r, θ, φ) sind relativ zu den Kartesischen Koordinaten (x, y, z) durch die Beziehungen

x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ y = rcosθ

gegeben. Die Einheitsvektoren im System der Kugelkoordinaten sind nicht konstant und h¨angen mit den Kartesischen Einheitsvektoren durch

~r = sinθcosφ ~e_x+ sinθsinφ ~e_y+ cosθ ~e_z

~θ = cosθcosφ ~ex+ cosθsinφ ~ey−sinθ ~ez

φ~ = −sinφ ~ex+ cosφ ~ey

zusammen.

Zeigen Sie, dass der Gradient in Kugelkoordinaten durch

∇f =~r ∂rf +~θ 1

r ∂_θf+φ~ 1 rsinθ ∂_φf und der Laplace-Operator durch

∆f = 1

r²∂_r(r²∂_rf) + 1

r²sinθ∂_θ(sinθ ∂_θf) + 1 r²sin²θ∂_φ²f

gegeben ist. 5 Punkte

U¨BUNG2 GRAVITATIONSPOTENTIAL EINERVOLLKUGEL

Das Gravitationspotential einer Vollkugel mit RadiusRist gegeben durch die Poisson-Gleichung

∆Ψ(x) = 4πGρ(x), (x∈R³) und die zugeh ¨orige Dichteverteilung in Polarkoordinaten

ρ(r, θ, φ) =

(1 r≤R 0 r > R.

Bestimmen Sie zun¨achst getrennt f ¨ur beide Teilgebiete0 ≤ r ≤ R undR < r < ∞ die Allge- meinen L ¨osungen f ¨urΨ(x)in geschlossener Form. W¨ahlen Sie dann die auftretenden Konstanten so, dass die L ¨osungen beir =Rstetig ineinander ¨ubergehen.

5 Punkte

U¨BUNG3 DIMENSIONSBEZOGENEMODELLREDUKTION

In dieser Aufgabe soll die W¨armeleitung innerhalb eines Drahtes betrachtet werden. Der Draht habe L¨angeLund sein Durchmesser variiere entlang dieser L¨ange. Das Volumen des Drahtes sei in Zylinderkoordinaten(φ, r, z)durch

V :={(φ, r, z)|φ∈(0,2π), z ∈[0, L], r≤R(z)}

beschrieben, wobeiR(z) : [0, L]→Rden positionsabh¨angigen Radius des Drahtes beschreibt.

Der Draht sei homogen, die Gr ¨oßenc(W¨armekapazit¨at, _kgK^J ),λ(W¨armeleitf¨ahigkeit,_mK^W ) undρ (Dichte, _m^kg3) also konstant. An den beiden Endfl¨achen des Drahtes sollen jeweils die Temperaturen T₀ und T_L mitT₀ > T_Langelegt werden. Die Seitenfl¨achen seien thermisch isoliert. Zum Anfangs- zeitpunktt0 habe der Draht ¨uberall TemperaturTL. F ¨urt ≥ t0 werde die Propagation des Systems durch

∂_t(ρcT(~x)) +∇ ·(−λ∇T(~x)) = 0, (∀x∈V) beschrieben.

1. Formulieren Sie explizit dieDirichletbzw. NeumannRandbedingungen gem¨aß der obigen Be- schreibung.

2. Geben Sie ein einfaches geometrisches Argument daf ¨ur an, dass bei diesen Randbedingungen und variierender Dicke des Drahtes die Ableitungen∂xTund∂yTnicht ¨uberall inV verschwin- den k ¨onnen.

3. Angenommen der Draht sei sehr d ¨unn, relativ zu seiner L¨ange. Es ist dann sinnvoll anzuneh- men, dass die N¨aherungen∂yT ≈0und∂xT ≈0gut erf ¨ullt sind (bzw.|∂_zT| |∂_xT|+|∂_yT|).

Zeigen Sie, dass unter diesen Voraussetzungen die Propagation durch die auf eine Dimension reduzierte Gleichung

∂t(πR(z)²ρcT(z)) +∂z(−λπR(z)²∂zT(z)) = 0, (∀z∈[0, L])

beschrieben werden kann.

5 Punkte

U¨BUNG4 DUNE GITTERSCHNITTSTELLE(PRAKTISCHE AUFGABE)

In dieser ¨Ubung sollen sie sich mit der Gitterschnittstelle von DUNE vertraut machen. Im Unter- verzeichnis /dune-npde/uebungen/uebung1 des dune-npde Moduls^† finden Sie ein Beispielprogramm, welches das Integral der analytische Funktion

f(x, y) = exp−3.234(x−0.5)²

durch Quadratur erster Ordnung auf den Zellen eines strukturierten Gitters approximiert. Das in- tegrierte Gebiet ist in diesem Fall das Einheitsquadrat Ω = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. Die Integration wird f ¨ur mehrere Gitteraufl ¨osungen durchgef ¨uhrt (beginnend mit einer einzigen Zelle), um die Konvergenz des Integrals zu bestimmen. Außerdem wird die Funktionf_h, welchef in den Gittervertizes interpoliert, f ¨ur jede Gitteraufl ¨osung als VTK Datei f ¨ur eine sp¨atere Visualisierung ge- speichert.

1. Machen Sie sich zun¨achst mit dem Quellcode vertraut und f ¨uhren Sie das Programm probewei- se aus. Starten Sie das Programmparaviewum die geschriebenen VTK Dateien zu betrachten.

Experimentieren Sie ein bisschen mit denparaviewFiltern (insbesondere demwarpFilter).

2. Modifiziern Sie das Programm nun so, dass die Funktionf nicht mehr auf dem ganzen Gebiet Ωintegriert wird, sondern nur noch auf dem dreieckigen TeilgebietΓ⊂Ω, das in der nachfol- genden Grafik als grauer Schatten dargestellt ist.

Ω

Γ

(0,0) (1,0) (1,1) (0,1)

†Dieses Modul k ¨onnen Sie von unserem Server beziehen. Hinweise darauf finden Sie auf der Hompage der Vorlesung.

Implementieren Sie hierbei zwei verschiedene Vorgehensweisen:

i) Nur Zellen, welche ganz inΓenthalten sind werden in der Quadratur ber ¨ucksichtigt.

ii) Nur Zellen, f ¨ur die wenigstens ein Vertex in Γ enthalten ist werden in der Quadratur ber ¨ucksichtigt.

3. Anstatt das TeilgebietΓ durch Auschnitte eines strukturierten Gitters zu approximieren, soll nun die Integration auf einem unstrukturierten Dreicks-Gitter durchgef ¨uhrt werden, welches Γexakt ¨uberdeckt. Ein passendes Gitter, bestehend ist in der Dateitriangle.mshenthalten. Diese Datei kann durch

typedef Dune::UGGrid<2> GridType;

GridType grid;

std::vector<int> boundary_index_map, element_index_map;

Dune::GmshReader<GridType> gmsh_reader;

gmsh_reader.read(grid,"triangle.msh",boundary_index_map, element_index_map,true,false);

in ein DUNE-Gitter eingelesen werden. Vergleichen Sie die Konvergenz der Quadratur auf die- sem Gitter mit jener auf dem strukturierten Gitter.

4. (Bonus)Modifizieren Sie die Klasse FunctorVTKFunction derart, dass Sie auf allen Zellen, die nicht ganz inΓenthalten sind nur noch Null ausgibt.

8 (+2) Punkte