Pr¨asenz¨ubungenzurFunktionentheorie-Blatt5 Universit¨atM¨unchen MathematischesInstitut

Mathematisches Institut

Universit¨ at M¨ unchen

Prof. Dr. M. Schottenloher C. Paleani

M. Schwingenheuer A. Stadelmaier

Pr¨ asenz¨ ubungen zur Funktionentheorie - Blatt 5

25.5. – 29.5.2009

1. Aufgabe: Man skizziere die folgenden Kurven

• γ(t) = t+isint , t∈[0,2π].

• γ(t) = sint+i t , t∈[0,2π].

• γ(t) = sint+isint , t∈[0,2π].

• γ(s) = expe^is , s∈[0,2π].

• γ(s) = expe^is2 , s∈[0,2π].

• γ(s) = expie^is2, s∈[0,2π].

2. Aufgabe:R sei das Quadrat, dass durch die Punkte{1, i,−1,−i} definiert wird. Man gebe eine explizite Darstellung α des positiv orientierten Randes von R an und berechne das Wegintegral

1 2πi

Z

α

dz z . 3. Man berechneR

γcosz dz l¨angs des Parabelst¨ucksγder Parabely=x²von 0 nach 1 +i.

4. BerechneR

γzexpz²dzf¨ur die Wege

• γdie Verbindungsstrecke zwischen 0 und 1 +i.

• γdas Parabelst¨uck aufy=x²zwischen 0 und 1 +i.

• γdieFigur Acht:γ(t) = +1−e^it, t∈[0,2π] undγ(t) =−1−e^−it, t∈[2π,4π].

5. Aufgabe: Man beweise die Transformationsinvarianz des komplexen Wegintegrals R

γf dz.

Also: Seif :U →Ceine stetige Funktion auf der offenen MengeU ⊂C. F¨ur stetig differen- zierbareϕ: [a, b]→[c, d] undα=γ◦ϕ⁻¹: [c, d]→U ist zu zeigen:

Z

γ

f dz= Z

α

f dz .