Mathematisches Institut
SS 2009Universit¨ at M¨ unchen
Prof. Dr. M. Schottenloher C. Paleani
M. Schwingenheuer A. Stadelmaier
Pr¨ asenz¨ ubungen zur Funktionentheorie - Blatt 3
11.5. – 15.5.2009
1. Aufgabe: Man beweise: e : C → C∗ ist ein stetiger und surjektiver Homomorphismus von Gruppen. (Welche Gruppenstrukturen sind hier angesprochen?)
2. Aufgabe: Man diskutiere die Aussage:Jeder analytische Homomorphismus h: C→C∗ ist bereitse.Hinweis: Man untersuche zun¨achst den Fall, dasshsurjektiv ist.
3. Aufgabe: Man gebe mehrere verschiedene Begr¨undungen f¨ur die folgenden Identit¨aten
• sin2z+ cos2z= 1 auch f¨ur nichtreellez∈C.
• cosh(z+w) = coshzcoshw+ sinhzsinhwauch f¨ur nichtreellez∈C.
• z, w, u∈C, z+w+u= 0 =⇒cotzcotw+ cotwcotu+ cotucotz= 1.
4. Aufgabe: SeiL:U →Ceine stetige Funktion mit expL(z) =z f¨ur alle z∈U. Dann istL analytisch.
5. Aufgabe: Man diskutiere und entscheide f¨ur welche z, w∈C∗∗ die Identit¨at logzw= logz+ logw
g¨ultig hat, wenn log den Hauptzweig Log0des Logarithmus bezeichnet.
