Pr¨asenz¨ubungenzurFunktionentheorie-Blatt10 Universit¨atM¨unchen MathematischesInstitut

Mathematisches Institut

Universit¨ at M¨ unchen

Prof. Dr. M. Schottenloher C. Paleani

M. Schwingenheuer A. Stadelmaier

Pr¨ asenz¨ ubungen zur Funktionentheorie - Blatt 10

29.6. – 3.7.2009

1. Aufgabe: Man zeige, dass der Raum O(U) als metrischer Raum vollst¨andig ist (f¨ur offene U ⊂C).

2. Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Menge der Polynome dicht inO(D(0, r)) liegt (r >0).

3. Aufgabe: Man beweise oder widerlege f¨ur eine formale LaurentreiheP

cmT^m, (m∈Z(!!)), die in einem Punktz₀∈C^∗konvergiert:

• Der Nebenteil der Laurentreihe hat einen Konvergenzradius≥ |z0|.

• Der Hauptteil der Laurentreihe hat einen Kovergenzradius von≥ |z₀|⁻¹.

• Es gibtr < R,r≤ |z₀| ≤R, so dass die Reihe in dem KreisringA_r,R(0) konvergiert.

• Die ReihePcmz^m konvergiert f¨ur allez∈C,|z|=|z0|.

• Wenn die Reihe in dem KreisringAr,R(0), r < R , punktweise konvergiert, dann auch normal.

4. Aufgabe: Bestimmen Sie die Laurententwicklung vonf(z) = _z(z−1)¹

• in{z∈C: 0<|z|<1},und

• in{z∈C: 1<|z|<2}.