Mathematisches Institut
SS 2009Universit¨ at M¨ unchen
Prof. Dr. M. Schottenloher C. Paleani
M. Schwingenheuer A. Stadelmaier
Pr¨ asenz¨ ubungen zur Funktionentheorie - Blatt 11
3.7. – 10.7.2009
1. Aufgabe: Bestimmen Sie die Laurententwicklung vonf(z) = z(z−1)1
• in{z∈C: 0<|z|<1},und
• in{z∈C: 1<|z|<2}.
2. Aufgabe: Man bestimme die Residuen in alle Singularit¨aten der folgenden Funktionen
• f(z) = 1−cosz2πz,
• g(z) =1−cosz3πz,
• h(z) =zexp(1−z1 ),
• s(z) = sinπzπz .
3. Aufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie: F¨ur eine holomorphe Funktion f auf A0,r(p) gilt stets:
Respf0 = 0.
4. Aufgabe: Zeigen Sie: F¨ur eine inA0,r(p) holomorphe Funktionf ist das Residuum in pdie eindeutig bestimmte Zahlc, f¨ur die
f− c
z−p eine Stammfunktion in einer Umgebung vonphat.
5. Aufgabe: Man zeige, dass f¨ur eine meromorphe Funktionf mit einem Pol der Ordnung 1 in pund eine in einer Umgebung vonpholomorphen Funktiong die Formel
Resp(gf) =g(p)Respf
gilt. Wie sieht eine entsprechende Formel im Falle einer Ordnung 2 (oderk≥2) aus?
