Mathematisches Institut
SS 2009Universit¨ at M¨ unchen
Prof. Dr. M. Schottenloher C. Paleani
M. Schwingenheuer A. Stadelmaier
Pr¨ asenz¨ ubungen zur Funktionentheorie - Blatt 8
15.6. – 19.6.2009
1. Aufgabe: Welche Voraussetzungen fehlen bei der folgenden Aussage
”f g holomorph aufU undgholomorph aufU =⇒ f holomorph”,
um sie zu einer richtigen Aussage zu machen? Nat¨urlich sollen die Voraussetzungen minimal gew¨ahlt werden.
2. Aufgabe: Man bestimme in dem RingChTider konvergenten Potenzreihen die multiplikative Inverse von 2 +T2.
3. Aufgabe: Man beweise oder widerlege f¨ur total (reell) differenzierbaref, g:
∂(f g) =∂f g+f ∂g .
4. Aufgabe: Kann die Funktion tan in einige der Nullstellen von cos hinein holomorph fortge- setzt werden? Wie lautet die Antwort auf dieselbe Frage bez¨uglichz7→(z+π2) tanz?
5. Aufgabe:f undgseien holomorph auf dem GebietG⊂C, G6=∅,und es geltef(z)g(z) = 0 f¨ur unendlich viele paarweise verschiedenez ∈G. Man beweise oder widerlege:f oderg ist dann die Nullfunktion.
6. Aufgabe: Sei U offen, seienp, q ∈U zwei ausgezeichnete Punkte in U, und sei L ⊂C eine reelle Gerade. Die Funktionf sei stetig inU und sie sei holomorph aufU abgesehen von den Punkten ausL∪ {p, q}. Man beweise oder widerlege:f ist holomorph aufU.
7. Aufgabe: Man bestimme das Wegintegral Z
γ
sinπζ ζ2(ζ2+ 1)dζ
l¨angs der Kurvenγ(t) =12eit, t∈[0,2π].
8. Seiu:E→Reine harmonische Funktion auf der Einheitskreisscheibe E. Man zeige, dassu das Maximumprinzip im folgenden Sinne erf¨ullt: Hat uin E ein lokales Maximum, so istu konstant.
