Pr¨asenz¨ubungenzurFunktionentheorie-Blatt12 Universit¨atM¨unchen MathematischesInstitut

Mathematisches Institut

Universit¨ at M¨ unchen

Prof. Dr. M. Schottenloher C. Paleani

M. Schwingenheuer A. Stadelmaier

Pr¨ asenz¨ ubungen zur Funktionentheorie - Blatt 12

13.7. – 17.7.2009

1. Aufgabe: Man zeige, dass f¨ur eine meromorphe Funktionf 6= 0 auf einem GebietGf¨ur jede kompakte TeilmengeK⊂Gdie Menge

{z∈K: ordz6= 0} endlich ist.

2. Aufgabe: Bestimme ordpf f¨ur

f(z) := z²

sinzexp 1 z−1 f¨ur allep∈C.

3. Aufgabe: Man zerlege die folgenden offenen Teilmengen der komplexen Ebene in ihre Zu- sammenhamngskomponenten

• D(−1,1)∪D(1,1)∪D(2,1),

• S

n≥1D(iⁿ,_n¹),

• S

n≥nD(2⁻¹,_n¹),

• S

n≥nD(_n¹,2⁻ⁿ),

4. Aufgabe: Man zerlege die folgenden Urbilder offener Mengen in ihre Zusammenhangskom- ponenten f¨urf(z) :=e^z, z∈Cundg(z) := Log(¹_z), z∈C^∗∗.

• f⁻¹(D(0,1)),

• f⁻¹(D(1,1)),

• f⁻¹(D(0,1))∩C^∗∗),

• g⁻¹(D(0,1)),

• g⁻¹(D(1,1)),

• g⁻¹(D(0,1)∩C^∗∗),

5. Aufgabe: Um zu zeigen, dass die Windungszahl W(α, z), z ∈ C\α^∗, einer geschlossenen Kurveαeine ganze Zahl ist, beweise man f¨ur

ϕ(t) := 1 2πi

Z t

0

˙ α(s)

α(s)−zds , t∈[0,1],

dassϕ(1)∈Zgilt, indem man f¨urψ(t) := (α(t)−z) exp(−2πiϕ(t)) die Identit¨at ψ˙= 0

best¨atige, und damitψ(0) =ψ(1). Aus dieser Gleichheit folgtϕ(1)∈Z.