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Aufgabe 10.1.: Gauß-Verteilung

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Academic year: 2022

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Aufgabe 10.1.: Gauß-Verteilung

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P

y

N=105 N=107

0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4

-0.4 0 0.4

e

−y2/2

√ 2π

y

1

= !

− 2 ln x

1

cos(2π x

2

) , y

2

= !

− 2 ln x

1

sin(2π x

2

)

(2)

Aufgabe 10.1.: Gauß-Verteilung

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P

y

N=105 N=107

0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4

-0.4 0 0.4

e

−y2/2

√ 2π

y

1

= !

− 2 ln x

1

cos(2π x

2

) , y

2

= !

− 2 ln x

1

sin(2π x

2

)

0.6826...

0.9544...

0.9973...

0.99993...

(3)

Aufgabe 10.2.: 1D Integrale

0.6654 0.6656 0.6658 0.666 0.6662 0.6664 0.6666 0.6668 0.667 0.6672 0.6674 0.6676

100000 1e+06 1e+07 1e+08

I 1

N

1.99 1.995 2 2.005 2.01 2.015

100000 1e+06 1e+07 1e+08

I 2

N

I

1

=

!

1

0

dx √

x I

2

=

!

1

0

dx 1

√ x

I

3

=

!

1

0

dx 1 = 1 ± 0 (Varianz = 0)

Varianz = ∞

(4)

Aufgabe 10.3.: 2D singuläres Integral

Einfache MC

0 20 40 60 80 100 120 140

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Anzahl

δI x 1000

Abweichung Geschaetzter Fehler

0 20 40 60 80 100 120 140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Anzahl

δI x 1000

Abweichung Geschaetzter Fehler

Stratified Sampling

0 1/3 2/3 1 2/3

1

1/3

δI

2

=

!

9

i=1

δ I

i2

≈2.4× bessere Genauigkeit bei ≈gleicher CPU-Zeit

I =

!

1

0

dx

!

1

0

dy 1

"#

x −

12

$

2

+ #

y −

12

$

2

= 3.525494348 . . ., N = 10

8

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