Halbgruppen und Gruppen

Halbgruppen und Gruppen

K ¨urzungsregel f ¨ur invertierbarescmit Inversemd:

•Ausac=bcfolgta=b, denn es gilta= (ac)d= (bc)d=b.

•Ausca=cbfolgta=b, denn es gilta=d(ca) =d(cb) =b.

Neutrale Elemente und Inverse sind eindeutig:

•e1=e1e2=e2, auscd1=e=cd2folgt durch K ¨urzend1=d2. Kombinierte Inverse:

•(ab)⁻¹=b⁻¹a⁻¹,(a⁻¹)⁻¹=a.

Eine GruppeGist eine Halbgruppe mit neutralem Element, in dem jedes Element invertierbar ist.

Das Inverse vonc∈Gwird mitc⁻¹bezeichnet.

Die Ordnung vonGist#G.

3 13. Mai 2004

Gruppen

Minimale Axiome f ¨ur eine Gruppe:

•(ab)c=a(bc)f ¨ur allea,b,c∈G.

•Es gibte∈Gmitea=af ¨ur allea∈G. (Linksneutrales Element).

•F ¨ur jedesa∈Ggibt esb∈Gmitba=e. (Linksinverses Element).

Bew: Seib∈Gmitba=e.

1. Ausa²=afolgta=e. Denn es gilta=ea= (ba)a=b(aa) =ba=e.

2. Es giltab=e. Denn(ab)(ab) =a(ba)b=abund nach 1 auchab=e.

3. Es giltae=a. Dennae=a(ba) = (ab)a=ea=a.

Die Existenz eines linksneutralen Elements und von linksinversen Elementen impliziert also, daß diese auch rechtsneutral und rechtsinvers sind.

4 13. Mai 2004

Halbgruppen

SeiGeine Menge,·:G×G→Gunde∈G. Es gelte

•(a·b)·c=a·(b·c)f ¨ur allea,b,c∈G.

•a·e=e·a=af ¨ur allea∈G.

Dann heißtGeine Halbgruppe mit neutralem Elemente.

Gheißt kommutativ (oder abelsch), wenna·b=b·af ¨ur allea,b∈G gilt.

Das Elementbheißt Inverses vonaundainvertierbar inG, wenn a·b=b·a=egilt.

1 13. Mai 2004

Halbgruppen

Beispiel:

•(Z,·),(Z,+).

•In(Z,·)sind nur1,−1invertierbar. In(Z,+)sind alle Elemente invertierbar:a+ (−a) = (−a) +a= 0.

Beispiel:

•StringsA^∗und Aneinanderh ¨angen·. EINS·ZWEI = EINSZWEI.

•ZWEI·EINS = ZWEIEINS. Sind ungleich, daher nicht kommutativ.

•Neutrales Element: Der leere String.

•Inverse Elemente: Gibt es f ¨ur nicht-leere Strings nicht.

2 13. Mai 2004

Kerne und Bilder

Die MengeU:= f⁻¹({1H})ist ein Normalteiler vonG.

•F ¨ura,b∈U gilt f(ab⁻¹) = f(a)f(b)⁻¹= 1_H, alsoab⁻¹∈U undU ist eine Untergruppe vonG.

•F ¨ura∈Gundb∈U gilt f(aba⁻¹) = f(a)f(b)f(a⁻¹) = 1_H, also aba⁻¹∈U.

Man nenntU den Kern von f und schreibtU = ker(f).

f ist ein Monomorphismus⇔ker(f) ={1G}.

Die MengeV:= f(G)ist eine Untergruppe vonH.

•F ¨urc,d∈V gibt esa,b∈Gmitc= f(a),d=f(b). Dann cd⁻¹=f(a)f(b)⁻¹= f(ab⁻¹). Wegenab⁻¹∈Gfolgtcd⁻¹∈V.

Man nenntV das Bild von f und schreibtV=im(f).

f ist ein Epimorphismus⇔im(f) =H.

7 13. Mai 2004

Nebenklassen

SeiGeine Gruppe undU⊆Geine Untergruppe. Wir bezeichnenaU als eine Nebenklasse vonU inG.

Thm (Lagrange): Die MengeU_={aU|a∈G}ist eine Partition vonG in Mengen gleicher Kardinalit ¨at,Gist also disjunkte Vereinigung der NebenklassenaU.

Bew: Dau7→auinjektiv ist, gilt#U = #aU f ¨ur allea.

F ¨ura∈Ggilta∈aU wegene∈U, daherG=∪a∈GaU.

Istc∈aU∩bU, so giltc=au1=bu2, alsoa=bu2u⁻¹₁ . Danna∈bU und aU=bU. Daher entwederaU=bU oderaU∩bU={}.

Folgerung: Man nennt(G:U) = #Uden Index vonU inG. Es gilt

#G= (G:U) #U.

8 13. Mai 2004

Homomorphismen von Gruppen

SeienG,HGruppen mit den neutralen Elementen1_G,1_Hund

f :G→H. Es gelte f(ab) =f(a)f(b)f ¨ur allea,b∈G. Dann heißt f ein Homomorphismus.

Epimorphismus = surjektiv.

Monomorphismus = injektiv.

Isomorphismus = bijektiv.

Endomorphismus =H=G.

Automorphismus =H=Gund bijektiv.

Es gilt:

• f(1_G) =f(1_G)f(1_G), daher f(1_G) = 1_Hnach der K ¨urzungsregel.

•1_H=f(1_G) = f(bb⁻¹) = f(b)f(b⁻¹), also f(b⁻¹) =f(b)⁻¹wegen der Eindeutigkeit der Inversen.

5 13. Mai 2004

Untergruppen und Normalteiler

IstU⊆Geine Gruppe und die Multiplikation inU die gleiche wie die inG, so heißtU eine Untergruppe vonG.

SetzeaU:={au|u∈U},U a:={ua|u∈U},aU a⁻¹:={aua⁻¹|u∈U}.

Die Abbildungenu7→au,u7→ua,u7→aua⁻¹sind bijektiv.

Gilt f ¨ur eine UntergruppeU vonGzus ¨atzlichaU a⁻¹⊆U f ¨ur allea∈G, so heißtU normal inGbzw. ein Normalteiler vonG. Hier gilt sofort aU a⁻¹=U, weilu7→aua⁻¹bijektiv ist.

In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe normal, denn aua⁻¹=aa⁻¹u=uundaU a⁻¹=U.

6 13. Mai 2004

Faktorgruppen

SeiGeine Gruppe undN⊆Gein Normalteiler.

Wir wollen inGmoduloN rechnen. Zwei Elemente sollen als gleich gelten, wenn sie sich um ein Element ausN unterscheiden: Also wenna=bnf ¨ur einn∈N bzw.a∈bN.

Wir betrachten die NebenklassenzerlegungG/N={aN|a∈G}und definierenaN·bN= (ab)N.

•Dies ist wohldefiniert: F ¨ura⁰∈aNundb⁰∈bN gilta⁰N=aN, b⁰N=bNundbN=NbwegenbNb⁻¹=N, und dann

(a⁰b⁰)N=a⁰bN=a⁰Nb=aNb= (ab)N.

•bN·N=bN undN·bN=bN, also istN das neutrale Element.

•bN·b⁻¹N= (bb⁻¹)N=N, also istb⁻¹N das Inverse vonbN.

Damit wirdG/N eine Gruppe und f :G→G/N,x7→xNein Epimorphismus (Restklassenhomomorphismus).

9 13. Mai 2004

Beispiel

G=Z,U = 4Zmit+. DannZ/4Z={0 + 4Z,1 + 4Z,2 + 4Z,3 + 4Z}.

Hieri+ 4Z={i+ 4j|j∈Z}.

Es gilt(2 + 4Z) + (3 + 4Z) = (2 + 3) + 4Z= (1 + 4) + 4Z= 1 + 4Z. Also modulo4Rechnen!

G=Z,H=Z/25Z, f :Z→Z/25Z,x7→5x+ 25Z. Dannker(f) = 5Zund im(f) ={5i+ 25Z|0≤i≤4}.

Stets#(G/N) = (G:N).

10 13. Mai 2004