• Keine Ergebnisse gefunden

y = 14 x 2 () 2 14 l : y = − 1 F 0,1 p : y = x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Aktie "y = 14 x 2 () 2 14 l : y = − 1 F 0,1 p : y = x"

Copied!
9
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Hans Walser, [20180701]

Ergänzung zum Rechteck 1 Worum geht es?

Spiel mit Tangenten und Rechtecken bei Kegelschnitten. Als Sonderfall erscheint das Rechteck im DIN-Format.

2 Parabel

Wir beginnen mit der Parabel (Abb. 1):

p: y= 14x2 (1)

Abb. 1: Parabel mit Brennpunkt und Leitlinie

Die Parabel p hat den Brennpunkt F

( )

0,1 und die Leitlinie l: y=−1. Auf der Leitli- nie l wählen wir einen Punkt P.

2.1 Tangenten und Rechteck

Die Tangenten von P an die Parabel p sind orthogonal (Abb. 2). Die Berührungspunkte bezeichnen wir mit B1 und B2.

1 4

4

F

l x y= 14x2 y

P p

(2)

Abb. 2: Tangenten

Wir ergänzen das rechtwinklige Dreieck B2B1P zum Rechteck B2SB1P (Abb. 3).

Abb. 3: Ergänzung zum Rechteck

1 4

4

F

l x y= 14x2 y

P B1

B2 p

1 4

4

F

l x y= 14x2 y

P B1

B2 S

p

(3)

Die Frage ist nun, welche Kurve der Punkt S beschreibt, wenn P auf l variiert.

Wir erhalten wieder eine Parabel (Abb. 4).

Abb. 4: Zweite Parabel

Diese Parabel hat die Gleichung:

q: y=x2+3 (2)

Dies kann durch Rechnung nachgewiesen werden.

2.2 Scheitelkrümmungskreise

Die Scheitelkrümmungskreise der beiden Parabeln haben den Punkt Z

( )

0, 4 gemeinsam (Abb. 5). Wir können die Parabel q durch eine Streckung mit dem Zentrum Z und dem Faktor 4 auf die Parabel p abbilden.

1 4

4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

P B1

B2 S

p

q

(4)

Abb. 5: Krümmungskreise in den Scheiteln

2.3 Sonderfälle

Im symmetrischen Fall ist das Rechteck ein auf der Spitze stehendes Quadrat (Abb. 6).

Der Brennpunkt F ist das Zentrum des Quadrates.

Abb. 6: Sonderfall Quadrat

1 4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

p

Z q

1 4

4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

P

B1 B2

S p

q

(5)

Die Abbildung 7 zeigt einen interessanten Sonderfall: Die Rechteckseiten sind nicht nur tangential oder normal zur Parabel p sondern auch zur Parabel q.

Die Oberkante B2S liegt auf einer Geraden durch Z. Das Rechteck hat das Seitenverhält- nis 2 :1, entspricht also dem DIN-Format (Walser 2013).

Die Strecke B2S ist eine der beiden Minimaltransversalen (die andere liegt symmetrisch dazu) der beiden Parabeln. Sie hat die Länge:

B2S=23 3≈2.598 (3)

Eine Kreisscheibe mit dem Durchmesser dieser Strecke B2S ist die größte Kreisscheibe, die zwischen den beiden Parabeln durchgeschoben werden kann.

Abb. 7: DIN-Format

Die Figur kann iteriert werden (Abb. 8).

1 4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

P B1

B2 p S

q Z

(6)

Abb. 8: Iteration

3 Ellipse

Die Punkte, von denen aus eine Ellipse (oder eine Hyperbel) unter einem rechten Win- kel gesehen wird, bilden einen Kreis („Thaleskreis“, [1] ). Bei einer Ellipse mit den Halbachsen a und b hat der Kreis den Radius r:

r= a2+b2 (4)

1 4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

P B1

B2 p S

q

(7)

Abb. 9: Thaleskreis an die Ellipse

Die ergänzende Ecke S zeichnet eine Rosette (Abb. 10).

Abb. 10: Rosette

P

B1 B2

S

P

B1 B2

S

(8)

4 Hyperbel

Wir haben einen Thaleskreis (Abb. 11) mit dem Radius r

r= a2b2 (5)

Es muss also a ≥ b sein, damit man rechtwinklige Tangenten an die Hyperbel zeichnen kann.

Abb. 11: Thaleskreis der Hyperbel

Der ergänzende Punkt S beschreibt eine aus vier Ästen bestehende Kurve (Abb. 12).

P

B1

B2 S

(9)

Abb. 12: Vierteilige Kurve

Websites

Hans Walser: Tangenten an Ellipse und Hyperbel (abgerufen 02.07.2018):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangenten_E_H/Tangenten_E_H

Literaturverzeichnis

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3- 937219-69-1.

P

B1

B2 S

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

1 Entscheide, ob die Aussagen für Figur und Bildfigur einer zentrischen Streckung wahr oder falsch sind.. Aussage Wahr

1 Entscheide, ob die Aussagen für Figur und Bildfigur einer zentrischen Streckung wahr oder falsch sind.. Aussage Wahr

B¨ undelung senkrecht zur Leitgerade einfallender Strahlen

[r]

a) Bestimme den Faktor b der Parabelgleichung und gib dann die vollständige

Betrachte Beispiel 3.12 von Folie 169, die Arithmetik der

Betrachte Beispiel 3.12 von Folie 169, die Arithmetik der

Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter benden sih auf der Webseite. http://www.math.unibas.h/