• Keine Ergebnisse gefunden

y = 14 x 2 () 2 14 l : y = − 1 F 0,1 p : y = x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Aktie "y = 14 x 2 () 2 14 l : y = − 1 F 0,1 p : y = x"

Copied!
9
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Hans Walser, [20180701]

Ergänzung zum Rechteck 1 Worum geht es?

Spiel mit Tangenten und Rechtecken bei Kegelschnitten. Als Sonderfall erscheint das Rechteck im DIN-Format.

2 Parabel

Wir beginnen mit der Parabel (Abb. 1):

p: y= 14x2 (1)

Abb. 1: Parabel mit Brennpunkt und Leitlinie

Die Parabel p hat den Brennpunkt F

( )

0,1 und die Leitlinie l: y=−1. Auf der Leitli- nie l wählen wir einen Punkt P.

2.1 Tangenten und Rechteck

Die Tangenten von P an die Parabel p sind orthogonal (Abb. 2). Die Berührungspunkte bezeichnen wir mit B1 und B2.

1 4

4

F

l x y= 14x2 y

P p

(2)

Abb. 2: Tangenten

Wir ergänzen das rechtwinklige Dreieck B2B1P zum Rechteck B2SB1P (Abb. 3).

Abb. 3: Ergänzung zum Rechteck

1 4

4

F

l x y= 14x2 y

P B1

B2 p

1 4

4

F

l x y= 14x2 y

P B1

B2 S

p

(3)

Die Frage ist nun, welche Kurve der Punkt S beschreibt, wenn P auf l variiert.

Wir erhalten wieder eine Parabel (Abb. 4).

Abb. 4: Zweite Parabel

Diese Parabel hat die Gleichung:

q: y=x2+3 (2)

Dies kann durch Rechnung nachgewiesen werden.

2.2 Scheitelkrümmungskreise

Die Scheitelkrümmungskreise der beiden Parabeln haben den Punkt Z

( )

0, 4 gemeinsam (Abb. 5). Wir können die Parabel q durch eine Streckung mit dem Zentrum Z und dem Faktor 4 auf die Parabel p abbilden.

1 4

4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

P B1

B2 S

p

q

(4)

Abb. 5: Krümmungskreise in den Scheiteln

2.3 Sonderfälle

Im symmetrischen Fall ist das Rechteck ein auf der Spitze stehendes Quadrat (Abb. 6).

Der Brennpunkt F ist das Zentrum des Quadrates.

Abb. 6: Sonderfall Quadrat

1 4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

p

Z q

1 4

4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

P

B1 B2

S p

q

(5)

Die Abbildung 7 zeigt einen interessanten Sonderfall: Die Rechteckseiten sind nicht nur tangential oder normal zur Parabel p sondern auch zur Parabel q.

Die Oberkante B2S liegt auf einer Geraden durch Z. Das Rechteck hat das Seitenverhält- nis 2 :1, entspricht also dem DIN-Format (Walser 2013).

Die Strecke B2S ist eine der beiden Minimaltransversalen (die andere liegt symmetrisch dazu) der beiden Parabeln. Sie hat die Länge:

B2S=23 3≈2.598 (3)

Eine Kreisscheibe mit dem Durchmesser dieser Strecke B2S ist die größte Kreisscheibe, die zwischen den beiden Parabeln durchgeschoben werden kann.

Abb. 7: DIN-Format

Die Figur kann iteriert werden (Abb. 8).

1 4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

P B1

B2 p S

q Z

(6)

Abb. 8: Iteration

3 Ellipse

Die Punkte, von denen aus eine Ellipse (oder eine Hyperbel) unter einem rechten Win- kel gesehen wird, bilden einen Kreis („Thaleskreis“, [1] ). Bei einer Ellipse mit den Halbachsen a und b hat der Kreis den Radius r:

r= a2+b2 (4)

1 4

F

l x

y= 14x2 y y=x2+3

P B1

B2 p S

q

(7)

Abb. 9: Thaleskreis an die Ellipse

Die ergänzende Ecke S zeichnet eine Rosette (Abb. 10).

Abb. 10: Rosette

P

B1 B2

S

P

B1 B2

S

(8)

4 Hyperbel

Wir haben einen Thaleskreis (Abb. 11) mit dem Radius r

r= a2b2 (5)

Es muss also a ≥ b sein, damit man rechtwinklige Tangenten an die Hyperbel zeichnen kann.

Abb. 11: Thaleskreis der Hyperbel

Der ergänzende Punkt S beschreibt eine aus vier Ästen bestehende Kurve (Abb. 12).

P

B1

B2 S

(9)

Abb. 12: Vierteilige Kurve

Websites

Hans Walser: Tangenten an Ellipse und Hyperbel (abgerufen 02.07.2018):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangenten_E_H/Tangenten_E_H

Literaturverzeichnis

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3- 937219-69-1.

P

B1

B2 S

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

1 Entscheide, ob die Aussagen für Figur und Bildfigur einer zentrischen Streckung wahr oder falsch sind.. Aussage Wahr

1 Entscheide, ob die Aussagen für Figur und Bildfigur einer zentrischen Streckung wahr oder falsch sind.. Aussage Wahr

B¨ undelung senkrecht zur Leitgerade einfallender Strahlen

[r]

Betrachte Beispiel 3.12 von Folie 169, die Arithmetik der

Betrachte Beispiel 3.12 von Folie 169, die Arithmetik der

Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter benden sih auf der Webseite. http://www.math.unibas.h/

a) Bestimme den Faktor b der Parabelgleichung und gib dann die vollständige