1. Man bestimme das Taylorpolynom 2. Ordnung von f (x, y ) = x 3 + xy 2 + y 3 um den Punkt P (1, 2) .

Ubungsblatt 09 - Differenzial- und Integralrechnung - WS 2013/14 ¨ (Heil, Riegelnegg, Ebner, H¨ orl, Sch¨ utky)

1. Man bestimme das Taylorpolynom 2. Ordnung von f (x, y ) = x ³ + xy ² + y ³ um den Punkt P (1, 2) .

(x = x ₀ + h = 1 + h , y = y ₀ + k = 2 + k , i.e. h = x − 1 , k = y − 2)

2. Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung von

f (x, y, z) = x(1 − e ^y ) + z sin(x + y) + cos z um den Punkt P (0, 0, 0) .

3. Die Funktion y(x) sei implizit gegeben durch (1 − x ² )e ^y

+ x + y = 2 . Man bestimme y ^′ (1) .

4. Zeigen Sie, dass das Funktionensystem f ₁ (x, y, z) = z ² − 2y − xz , f ₂ (x, y, z) = yz +x ² = 0 in einer Umgebung des Punktes (1, 1, − 1) nach x und y aufgel¨ ost werden kann.

5. Gegeben sei f : R ³ → R ³ mit f(r, φ, z) = (x, y, z) = (r cos φ, r sin φ, z) . Wann existiert eine lokale Umkehrung von f ?

6. Man bestimme die Hesse-Matrix der Funktion f(x, y, z) = xy ² e ^z .

7. Gegeben sei die Matrix A =



 1 − 1 0

1 0 0

− 2 0 1



 . Zeigen Sie, dass die durch A definierte

quadratische Form positiv semidefinit ist.

8. Gegeben sei die Funktion f(x, y, z) = cosh x + e ^y − ln z − ^y _e + ^z ₂ .

Bestimmen Sie zuerst die Stelle, an der ein Extremum auftreten kann, und zeigen Sie danach,

dass dort tats¨ achlich ein Minimum vorliegt.