f (x, y) = e xy 2 imEinheitskreisx 2 + y 2 ≤ 1gegeben.Auÿerhalbvondiesemseidie

8 Übungsblatt Mathematik für Physiker III

8.1 Zweistellige Funktion im Einheitskreis

Essei

f (x, y) = e ^{xy 2}

^imEinheitskreis

x ² + y ² ≤ 1

^{gegeben.Auÿerhalbvondiesemseidie}

Funktion

f

^{konstant gleich Null.}

Einheitskreis f = e ^{xy 2}

x y

f = 0

Es werde für

− 1 ≤ x ≤ 1

^deniertmit

F (x) = R ¹

−1 f (x, y) dy.

Wir erweitern die Denition auf die

x

^-

y −

^{Ebene mit Hilfe der oenen Menge}

D :=

(x, y) : x ² + y ² ≤ 1

^:

f : R ² → R f : (x, y) 7→

( e ^{xy 2} (x, y) ∈ D

0 sonst .

Jetzt kannmanmit

y ⁰ = √

1 − x ²

^für

x ∈ ] − 1, 1[

^{ganz bequemschreiben:}

F (x) = Z y ⁰

− y ⁰

e ^{xy 2} dy.

Die Funktionen

exp xy ²

und

√ 1 − x ²

^{sind auf dem Intervall stetig, also ist auch das}

Integral stetig. Der Integrand ist indem Bereich indem wir ihnableiten partiell stetig

dierenzierbar nachx.Daher können wirLeibniz anwenden underhaltendieAbleitung

mit:

F ⁰ (x) = d dx

Z y ⁰

− y ⁰

e ^{xy 2} dy = Z y ⁰

− y ⁰

∂

∂x e ^{xy 2} dy

= Z y ⁰

− y ⁰

y ² e ^{xy 2} dy

DieFunktion

y ² e ^{xy 2}

^{isteinProduktzweierstetigerFunktion,unddaherselbststetig.Das}

heiÿt, die

F (x)

^{ist sogar stetig} dierenzierbar. Die Bestimmung derFunktionswerte im Punkt

x = 0

^liefert:

F (0) = Z ¹

−1

1 dy = [y] ¹ −1 = 2 F ⁰ (0) =

Z ¹

−1

y ² dy = 1

3 y ^{3 1}

−1

= 2 3 .

8.2 Formel von Frullani

Es istdie Formelvon Frullani:

Z ∞

0

f (ax) − f (bx)

x dx = [f (0) − f ( ∞ )] log a

b

^wobei

f ( ∞ ) := lim

x →∞ f (x) ,

herzuleiten.

Wirbetrachten

f = f (tx) = f (u)

^wobei

u = tx,

dann ist

∂f

∂x = ∂f

∂u · t

und

∂f

∂t = ∂f

∂u · x.

Wenn

x, t 6 = 0,

^{dürfen wirdurch}

x

^und

t

^{teilenund erhalten:}

1 t · ∂f

∂x = 1 x · ∂f

∂t .

Fordert man, dass

f (xt)

^und

^∂f _∂t

^{stetig sind, dann ist das Integral über ein ein oenes}

Intervall stetigund esgilt

Z a b

∂f

∂t dt = f (ax) − f (bx)

setzen wirnachwie vor voraus, dass

x 6 = 0

^ist,gilt:

f (ax) − f (bx)

x = 1

x Z a

b

∂f

∂t dt.

Dasalles eingesetzt,bringt:

Z ∞

0

f (ax) − f (bx)

x dx =

Z ∞

0

Z a b

1 t · ∂f

∂x dt dx

Z ∞

0

Z a b

1 t · ∂f

∂x dt

aufdemIntervall

[a, b]

gleichmäÿig konvergiert, darf Fubiniangewandt werdenundman erhält:

Z ∞

0

f (ax) − f (bx)

x dt =

Z a b

1 t

Z ∞

0

∂f

∂x dx dt

= Z b

a

1

t [ − f (tx)] ^∞ _{x =0} dt,

hier haben wirdieIntegralgrenzengedreht,umeinMinuszeichen zuerhalten. Fordern

wirauÿerdem noch

a, b 6 = 0

^{(daraus folgt}

t 6 = 0

^{) erhält man:}

= [f (0) − f ( ∞ )]

Z b a

1 t dt

= [f (0) − f ( ∞ )] log b a

8.3 2D Integralberechnung

Z ²

1

Z x 1

x

y dy dx = Z ²

1

x [ln y] ^x 1 dx = Z ²

1

x ln x dx,

Da die Grenzefür das

y

^{-Integral von}

x

^{abhängt, müssen wir zuerst die}

y

Integration ausführen.Wir setzen vorraus, dass

x 6 = 0,

^{sonst würde der}Logarithmus nicht deniert sein.WirkönnennunauchdieseIntegrationausführen,indemwirdiepartielleIntegration

benutzen:

Z ²

1

x ln x dx = 1

2 x ² ln x ²

1

− Z ²

1

dx 1 x · 1

2 x ² = 1

2 x ² ln x ²

1

− 1 2

Z ²

1

dx · x,

Dieskönnen wirjetzt explizitaufschreiben und wirerhalten:

Z ²

1

Z x 1

x

y dy dx = 1

2 x ² ln x − 1 4 x ²

²

1

= 2 ln 2 − 3

4 = ln 4 − 3

4 .

Z ¹

0

Z ¹

0

(x + y) ·

^sign

(x − y) dxdy = Z ¹

0

Z x 0

(x + y) dy + Z ¹

x

(x + y) · ( − 1) dy

dx

= Z 1

0

xy + 1

2 y ² x

y =0

−

xy + 1 2 y ²

¹

y = x

! dx

= Z ¹

0

3

2 x ² − x − 1 2 + 3

2 x ²

dx

= Z ¹

0

3x ² − x − 1 2

dx

=

x ³ − 1 2 x ² − 1

2 x ¹

0

= 1 − 1 2 − 1

2 Z 1

0

Z 1 0

(x + y) ·

^sign

(x − y) dxdy = 0.