Florian Heinrich
Zahlensysteme und ihre Anwendung
Studienarbeit
Naturwissenschaft
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Copyright © 2012 GRIN Verlag ISBN: 9783656475354
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Florian Heinrich
Zahlensysteme und ihre Anwendung
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i
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort 1
2 Die Herkunft der Zahlen 3
2.1 Was bedeutet z¨ahlen ? . . . 3
2.1.1 Tiere k¨onnen Mengen erfassen . . . 3
2.1.2 Das Erfassen von Mengen beim Mensch . . . 5
2.2 Die ersten Darstellungen von Zahlen . . . 7
2.2.1 Der K¨orper als Hilfsmittel . . . 8
2.2.2 Die Natur als Werkzeug . . . 9
2.2.3 Der Schritt zur wirklichen Z¨ahlkompetenz . . . 10
Die Entstehung der Zahlw¨orter . . . 10
Die F¨ahigkeit des Vergleichs und der Einordnung . . . 11
3 Die Grundlagen der Zahldarstellung 13 4 Additionssysteme 15 4.1 Definition . . . 15
4.2 Umwandlung ins Dezimalsystem und umgekehrt . . . 15
4.3 Rechenoperationen . . . 19
4.3.1 Die Addition . . . 19
4.3.2 Die Subtraktion . . . 19
4.3.3 Die Multiplikation . . . 19
4.3.4 Die Division . . . 21
4.3.5 H¨ohere Rechenoperationen . . . 23
4.4 Beispiele aus der Realit¨at . . . 23
4.4.1 Das Un¨arsystem . . . 24
Inhaltsverzeichnis ii
Umrechnung Un¨ar-Dezimal . . . 24
Umrechnung Dezimal-Un¨ar . . . 24
Rechenoperationen . . . 25
Verwendung in der Vergangenheit . . . 25
Die Verwendung heute . . . 26
4.4.2 Die R¨omischen Zahlen . . . 27
Definition und Regeln . . . 27
Umrechnung in das Dezimalsystem . . . 28
Umrechnung vom Dezimalsystem . . . 30
Rechenoperationen . . . 32
Zahlen gr¨oßer 3999 (MMMCMXCIX) . . . 32
Anwendungen heute . . . 33
4.5 Die Nachteile des additiven Prinzips . . . 34
5 Stellenwertsysteme 37 5.1 Die Regeln und Definition . . . 37
5.1.1 Das Prinzip der B¨undelung . . . 38
5.1.2 Entdeckung der Null . . . 41
5.2 Beweis zur Eindeutigkeit der B¨undelung . . . 42
5.3 Das Dezimalsystem . . . 44
5.3.1 Entwicklung . . . 44
5.3.2 Definition . . . 45
5.4 Das Dualsystem . . . 46
5.4.1 Die Definition . . . 46
5.4.2 Umrechnung ins Dezimalsystem . . . 47
5.4.3 Umrechnung vom Dezimalsystem . . . 48
5.4.4 Rechenoperationen . . . 51
Die Addition . . . 51
Die Subtraktion . . . 53
Die Multiplikation . . . 54
Die Division . . . 55
5.4.5 Spezielle Rechenoperationen . . . 56
Die Invertierung . . . 57
Das bin¨are Oder und exklusive Oder . . . 57
Das bin¨are Und . . . 58
5.5 Das Hexadezimalsystem . . . 58
5.5.1 Definition . . . 58
5.5.2 Umrechnung ins Dezimalsystem . . . 59
5.5.3 Umrechnung vom Dezimalsystem . . . 60
5.5.4 Die Umrechnung ins und vom Dualsystem . . . 62
5.6 Das Dualsystem im Einsatz . . . 63
Inhaltsverzeichnis iii 5.6.1 Was bedeutet digital? . . . 63 5.6.2 Codierung und Decodierung . . . 65 5.6.3 Beispiel der Codierung von Zeichen und Texten am Computer in
C++ . . . 66
6 Schlusswort 69
Literaturverzeichnis 70
1
1 Vorwort
Das 21. Jahrhundert... T¨aglich wird der Mensch ¨uberflutet von Informationen und Ein- dr¨ucken, wichtigen wie unwichtigen. Neuentwicklungen und Erfolge sind heute noch ak- tuell, und morgen oftmals schon wieder ¨uberholt und veraltet. Immer tiefer dringt das Verst¨andnis des Menschen in das Universum, in die Natur, allgemein in unsere Welt ein.
Zunehmend vielschichtiger werden unsere Vorstellungen von Raum, Zeit und Wirklichkeit.
Im wachsenden Umfang komplexer werden unsere Entwicklungen und unsere technischen Standards. Daher ist es nicht verwunderlich, dass viele Menschen die Orientierung ver- lieren und durch den Dschungel an Fachw¨ortern, Erkl¨arungen und Theorien nicht mehr durchblicken. Meine Person ist dabei ¨uberhaupt nicht ausgenommen. Aus diesem Grund versuche ich t¨aglich ein St¨uck mehr unserer Welt und der Entwicklungen in ihr zu ver- stehen. Der Schl¨ussel dazu, denke ich, ist die Mathematik, denn schon Einstein erkannte, dass«nach unserer bisherigen Erfahrung [...] wir zum Vertrauen berechtigt [sind], dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist». Aufgrund dessen ist es sinnvoll die Mathematik als Quelle der Erkenntnis und des Verst¨andnis f¨ur diese, unsere Welt zu sehen. Aber nicht nur das Universum, sondern auch technische Errungenschaften, die Geschichte der Menschheit und der t¨agliche Zugewinn an Erkenntnis und Wissen von Kindern ist im Spiegel der Mathematik zu sehen.
Besonderen Stellenwert in der Mathematik nehmen die Zahlen ein. Sie sind ein allt¨ag- liches Werkzeug, dass zum Z¨ahlen, zur Angabe von Preisen, Gr¨oßen und Mengen, f¨ur R¨atselspiele und vieles mehr eingesetzt wird. Selbst Kindergartenkinder besitzen schon elementare Kenntnisse im Bereich Zahlen und Z¨ahlen und setzen diese auch aktiv ein.
Tats¨achlich sind sie so allt¨aglich und verwurzelt, dass nur selten die Frage der Herkunft, Entwicklung und Weiterentwicklung gestellt wird. Sicher noch seltener wird nach Alterna- tivdarstellungen gefragt. Ein Antwortversuch soll diese Arbeit bieten. Es wird im Kapitel 2 gezeigt, wie Zahlen entdeckt wurden, und welche Voraussetzungen und Problemstellun- gen die Menschen zu dieser Zeit dazu veranlassten, das Z¨ahlen zu beginnen. Es wird sich herausstellen, dass sich eben diese Entwicklung bei Kindern heute in komprimierter Form vollzieht. Das Kapitel 4 erkl¨art abstrakt und konkret, wie erste Notationen von Zahlen aussahen und funktionierten, und welche Verbesserungen und Nachteile an diesen Vorge-
