Zahlensysteme
Zahlensysteme
Vereinbarung (Abbildungsfunktion) zur Interpretation einer Zei- chenfolge. Ein Zeichen eines Zahlensystems wird als Ziffer bezeich- net.
Darstellung von natürlichen Zahlen im Dezimal-, Dual- und Hexade- zimalsystem
Dezimalzahl Dualzahl Hexadezimalzahl
1 1 1
2 10 2
3 11 3
... ... ...
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
... ... ...
15 1111 F
16 10000 10
17 10001 11
... ... ...
255 11111111 FF
256 100000000 100
257 100000001 101
... ... ...
Maschinelles Rechnen
Maschinelles Rechnen
m Analog:
⇒ Rechenschieber
m Digital:
⇒ mechanisch (Abakus, z. B. Zahlsystem zur Basis 5)
⇒ elektrisch (frühe Rechenmaschine)
⇒ elektronisch
m Rechnen mit Zahlen
Rechnerintern werden Ganzzahlen in Dualzahlen konvertiert
m Addition von Dualzahlen
⇒ 0 + 0 = 0
⇒ 0 + 1 = 1
⇒ 1 + 0 = 1
⇒ 1 + 1 = 0 mit Übertrag auf die nächste Stelle
m Beispiel
Subtraktion von Dualzahlen
⇒ Subtraktion von Dualzahlen ist eine Addition mit dem negati- ven Subtrahenden!
⇒ Negative Dualzahlen werden mit der Komplementdarstel- lung realisiert.
⇒ Das Einerkomplement einer Dualzahl erhält man, indem man jedes Bit in sein Gegenteil verkehrt.
0001011 (11D) ==> 1110100 (-11D)
⇒ Problem: Man hat 2 Darstellungen für 0 (+0: 00000000 und - 0: 11111111)
⇒ Man verwendet daher das Zweierkomplement. Dies ergibt sich als Einerkomplement +1
0001011 ==> 1110100+1 ==> 1110101 (-11D)
Beispiel
Zahldarstellung
⇒ Eindeutige Zahlendarstellung (Zahlenstrahl) für den ganz- zahligen Zahlenbereich. Die erste Stelle gibt dabei das Vor- zeichen der Zahl an!
⇒ Der Wertebereich ist von der Wortgröße abhängig
8 Stellen + 127... -128 16 Stellen + 32767 .... -32768
Festkommadarstellung
⇒ Keine Rücksicht auf Komma. Komma steht immer an fester Stelle. Wertebereich ergibt sich aus:
~ ± (2Wortlänge)/2
⇒ Stellenschreibweise
⇒ Potenzschreibweise
⇒übliche Gleitkommadarstellung Gleitkommadarstellung
Genauigkeit der Zahldarstellung
⇒ Anzahl der Stellen hinter (und vor) dem Komma muß be- grenzt sein. Üblich sind je nach Datentyp 6-7, 11-12 oder auch 19-20 Stellen.
Zahlenbereich Üblich ist z.B.:
2.9 * 10-39 - 1.7 * 1038
Interne Zahldarstellung
Warum eigentlich
Rechnen mit Gleitkommazahlen
Beispiel (Addition):
Die 2 Summanden
3.466200 * 1012 0.11 * 103 0.002119 0.999 * 105
Exponentenangleich:
0.3466200 * 1013 0.0011 * 105 0.0000000000000002119 * 1013 0.9990 * 105 Verknüpfung (hier Addition) der Mantissen:
Da im ersten Beispiel die 2. Zahl gegenüber der ersten extrem klein ist, ist das Ergebnis der Addition gleich der ersten Zahl. Die 2.
Zahl verschwindet innerhalb der Darstellungsgenauigkeit. Beim zweiten (rechten) Beispiel werden die Zahlen wie üblich addiert.
0.3466200 * 1013 1.0001 * 105
Normalisierung des Ergebnisses:
Zurückführung auf die Darstellungsform, bei der die Mantisse ma- ximale Genauigkeit bietet, also bei der die erste Stelle nach dem Komma signifikant ist. Der Exponent muß entsprechend angepaßt
Beispiel 1 Beispiel 2
Datenkompression
Datenkompression kann erreicht werden durch eine Erhöhung der Darstellungsdichte mittels geeigneter Algorithmen wie:
⇒ Lauflängencodierung
⇒ Codetransformation
⇒ Inhaltsanalyse (z.B. Funktionensysteme)
Vorteile:
⇒ spart Speicherplatz
⇒ verkürzt Übertragungszeiten (Modem)
⇒ nutzt gegebene Bandbreiten besser aus (z.B. Bewegtbild über ISDN, GSM-Standard)
Nachteile:
Kryptologie
Verfahren zur Verschlüsselung der Daten (Nachrichten) zur Geheimhaltung und zur Sicherstellung der Urheberschaft (Au-
thentizität).
-
l- schlüsseln. Die Verschlüsselungsfunktion ist bekannt, die Ent- schlüsselungsfunktion kennt nur der Empfänger. Der Schlüssel
ist nur mit extrem hohem Rechenaufwand
Schema:
p,q:
n = p*q
e errechnet nach: 1 = d*e
Verschlüsseln: NEU = ORIGINALemod n
d
p,q,d sind geheim
