Algebra Zahlensysteme

Zahlensysteme

Algebra

Kapitel 1

Gymnasiale Unterstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

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Vorname:

28. November 2020

Inhaltsverzeichnis

1 Zahlensysteme 1

1.1 Die Entwicklung unserer Zahlen/Zahlensysteme

Wie die Zahlen zu uns kamen . . . 1

1.2 Nicht-dezimale Zahlensysteme . . . 15

1.2.1 Umformungennicht-dezimal→dezimal . . . 16

1.2.2 Umformungendezimal→nicht-dezimal . . . 17

1.2.3 Nachfolger & Vorg¨anger . . . 18

1.3 Grosse Zahlen . . . 20

1.4 Meine Zusammenfassung: . . . 24

1 Zahlensysteme

Wir wollen uns in diesem Kapitel etwas mit derEntstehungundHerkunftunserer Zahlen vertraut machen und dabei Reihen-, Stufen- und Stellenwertschriften kennenlernen.

Auch nicht-dezimale Zahlensystem werden wir untersuchen und uns mit den Umrechnungen zwischen den Systemen befassen.

Mit den ganz grossen Zahlen werden wir uns auch besch¨aftigen, insbesondere mit ihrer Darstellung in der wissenschaftlichen Form und wie damit gerechnet wird.

1.1 Die Entwicklung unserer Zahlen/Zahlensysteme Wie die Zahlen zu uns kamen

ˆ DieerstenZahlen:

ˆ Warum Zahlen ?

ˆ M¨oglichkeiten zu z¨ahlen:

Papua Neuguinea:

Mit nur einer Hand:

Englische Kerbh¨olzer aus dem 13 Jahrhundert:

Die Elemente einer Menge zu z¨ahlen heisst in der einfachsten Form . . . .

Methode der Inkas:

Hilfsmittel der Taubstummen:

Aufgaben 1.1 Stelle mit einer Schnur dein Geburtsjahr, -Monat & -Tag und deine K¨orperl¨ange und Schuhgr¨osse dar.

Wir wollen zeitlich wieder etwas zur¨uck zu den ¨Agyptern:

Beispiel 1.1 Bestimme die zugeh¨origen Zahlen/ Resultate:

Beispiel 1.2 In der folgenden Abbildung einer Zeichnung, die auf dem Kopf der Keule des K¨onigs Namer (Anfangs 3. Jahrtausend v.Chr.) gefunden wurde, sind drei Besitzangaben versteckt:

Um sie zu finden brauchst du noch einige (nicht alle) der folgenden Piktogramme:

Die Aegypter haben in ihrer Darstellung der Zahlen eine sogenannteReihen- schriftentwickelt, d.h.:

Dies ist ein . . . mit welchem Problem:

Die Chinesen haben die Darstellung weiterentwickelt:

Versuche mit obigen Definitionen die folgenden Darstellungen richtig zu deu- ten:

Erkl¨aren die Z¨ahlweise

und ¨uberpr¨ufe, welche der folgenden Gleichungen richtig/falsch ist:

Die Chinesen haben in ihrer Darstellung der Zahlen eine sogenannteStufen- schriftentwickelt, d.h.:

Dies ist ein . . .

Eine weitere Vereinfachung f¨uhrt uns zur sogenanntenStellenwertschrift:

Beispiel 1.3 Bestimme die folgenden Zahlen:

und beschreibe, was bei einer Stellenwertschrift gemacht wird:

Die Stellenwertschrift ben¨otigt unbedingt eine neue Zahl:

Und was haben wir f¨ur ein Schriftsystem:

Noch der letzte Schritt zu unserenarabischen Zahlen:

In Indien wurde, wie in China, eine Stellenwertschrift entwickelt, mit folgen- den Schriftzeichen:

Im heutigen Indien werden die folgenden Schreibstile der Grundziffern ver- wendet:

Aber warum heissen unsere ZahlenarabischeZahlen ?

Algebra-Aufgaben: Zahlensysteme 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Aufgaben 1.2 Lies die folgenden Seiten ¨uber die r¨omischen Zahlen und l¨ose dann die ¨Ubungen.

Bestimme zuerst die Region und den Zeitraum, in welchem sich diese Geschichte abspielt.

Aufgaben 1.3 Stelle als r¨omische Zahl dar:

1. 76

2. 121

3. 998

4. 2345

5. 4065

Aufgaben 1.4 Stelle als arabische Zahl dar:

1. CD

2. DC

3. MCCX

4. CDLIX

5. CIXXX

Aufgaben 1.5 Beantworte mit r¨omischen Zahlen:

1. Bestimme die L¨ange deines Schulweges:

2. Wie lautet dein Geburtsjahr?

3. Wieviele Unterrichtsstunden hast du in einer Woche?

4. Deine Hausnummer:

Aufgaben 1.6 Aus https://www.roemische-zahlen.net/uebungen/ stam- men die folgenden Aufgaben:

F¨ur weitere (freiwillige) Aufgaben . . .

ˆ https://www.uebungskoenig.de/mathe/5-klasse/roemische-zahlen/

ˆ www.klassenarbeiten.de/realschule/klasse5/mathematik/zahlensysteme/ r%C3%B6mische- zahlen1455348800.htm

1.2 Nicht-dezimale Zahlensysteme

Aufgaben 1.7 Repetiere den Begriff desStellenwertsystems

Wir wollen uns die Unterschiede in einem Stellenwertsystem an folgenden Beispielen betrachten:

Beispiel 1.4 1. 10er-System

2. 4er-System

3.

Neue Begriffe:

ˆ DezimalesZahlensystem

ˆ Nicht-dezimalesZahlensystem

1.2.1 Umformungen nicht-dezimal →dezimal Beispiel 1.5

1. 124= 2. 3024= 3. 34= 4. 431₅=

Fasse in eigene Worte, wie diese Umformungen durchzuf¨uhren sind

” . . .

. . . . ”

und l¨ose mit Deiner Rechenvorschrift die folgenden Aufgaben:

Aufgaben 1.8 1. 123₄= 2. 1235= 3. 1238= 4. 1002= 5. 321₃=

1.2.2 Umformungen dezimal → nicht-dezimal Beispiel 1.6

1. 710 ins 4er-System:

2. 1210 ins 4er-System:

3. 9510 ins 3er-System:

4. 9510 ins 5er-System:

Fasse in eigene Worte, wie diese Umformungen durchzuf¨uhren sind

” . . .

. . . . ”

und l¨ose mit Deiner Rechenvorschrift die folgenden Aufgaben:

Aufgaben 1.9

1. 39410 ins 4er-System:

2. 63010 ins 5er-System:

3. 14010 ins 8er-System:

1.2.3 Nachfolger & Vorg¨anger

Aufgaben 1.10 Schreibe die Zahlen 1,2, . . . 10 aus dem Zehnersystem in das 2er-System und das 5er-System um:

Beispiel 1.7 Bestimme . . .

1. den Nachfolger von 3710= 2. den Vorg¨anger von 100010= 3. den Nachfolger von 34=

4. den Vorg¨anger von 1004=

Fasse in eigene Worte, auf was es bei der Bestimmung von Nachfolger und Vorg¨anger zu achten gilt

” . . .

. . . . ”

und l¨ose mit Deiner Rechenvorschrift die folgenden Aufgaben:

Aufgaben 1.11

1. Bestimme jeweils den Nachfolger und den Vorg¨anger:

(a) 323₄ (b) 6889

2. Was ist falsch an 5324 ? Stelle die Zahl richtig dar:

Algebra-Aufgaben: Zahlensysteme 2 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Noch zwei wichtige Beispiele:

Beispiel 1.8 Das bin¨are Zahlensystem bin¨arbedeutet

d.h. wir haben die folgenden Stellenwerte und ist wichtig weil . . .

Aufgaben 1.12 Ubertrage in das jeweils andere Zahlensystem:¨ 1. 22=

2. 2₁₀= 3. 10₂= 4. 1010=

Beispiel 1.9 Das 12er-System

hat die folgenden Stellenwerte

und das Wichtige zeigt sich in der Probleml¨osung der folgenden Aufgabe:

Aufgaben 1.13 Ubertrage in das 12er-System:¨ 140₁₀

Algebra-Aufgaben: Zahlensysteme 3 (Zugeh¨orige L¨osungen)

1.3 Grosse Zahlen

Wir werden uns ¨uber die folgenden Entfernungen mit grossen Zahlen vertraut machen:

KZN - Bahnhof Oerlikon:

Z¨urich - Basel:

Z¨urich - Z¨urich:

Z¨urich - Mond:

Erde - Sonne:

Erde - ProximaCentauri:

F¨ur eine k¨urzere Darstellung definieren wir dieZehnerpotenzen:

Def.:

Beispiel 1.10 Schreibe die folgenden Potenzen aus:

1. 10⁵ 2. 10³ 3. 10¹⁶ 4. 2·10⁴ 5. 16·10¹¹

Aufgaben 1.14 Schreibe die folgenden Potenzen aus, berechne das Produkt und stelle das Produkt wieder als eine Potenz dar:

1. 10²·10⁴ 2. 10³·10³ 3. 10⁵·10⁸

Fasse in eigene Worte auf, was f¨ur eine Regel Du erkennen kannst

” . . .

. . . . ”

und stelle mit Hilfe Deiner Regel die folgenden Produkte direkt als eine Zeh- nerpotenz dar:

ˆ 10³⁴·10⁸⁸

ˆ 10¹²³·10⁴⁵⁶·10⁷⁸⁹

Aufgaben 1.15 Schreibe mit Hilfe von Zehnerpotenzen:

1. 1 Million 2. 1 Milliarde

3. 1 Billion 4. 1 Billiarde

5. 1 Trillion 6. 23 Trilliarden

7. 567 Quadrillionen 8. 1 Quadrilliarde

9. die Entfernung Erde - Andromedanebel

Die neue Darstellung der kann bei Umrechnungen der L¨angeneinheiten n¨utz- lich sein:

Aufgaben 1.16 Repetiere alle Dir bekannten L¨angeneinheiten:

DiePotenzschreibweisel¨asst sich nicht nur auf die 10er Basis anwenden:

Beispiel 1.11 1. 2³= 2. 4²= 3. 5⁴= 4. 1⁷= 5. 11²= 6. 6³= 7. 3⁴=

Wir schliessen diese Kapitel mit einer weiteren Definition und einigen wich- tigen Begriffe:

Def.:

Algebra-Aufgaben: Zahlensysteme 4 (Zugeh¨orige L¨osungen)

Algebra-Aufgaben: Zahlensysteme 5 (Zugeh¨orige L¨osungen)

1.4 Meine Zusammenfassung: