WF Mathematik: 2. Codierung – Zahlensysteme – EAN
Kryptografie ist der Fachausdruck für Verschlüsselung von Informationen. Es ist ein ewiger Kampf zwischen Geheimniskrämern und den ums Aufdecken Bemühten. Der Kampf ist unentschieden. (podcast aus omegataupodcast.net)
Kryptografie gab es schon in Sparta des 5. Jahrhunderts vor Christus. Der Römer Gaius Julius Cäsar arbeitete so intensiv an Verschlüsselung, um Nachrichten für Unbefugte unlesbar zu machen. Sein Verfahren benutze das Prinzip des Verschiebens von Buch- staben: A wird D, B wird E und so weiter, für Z am Ende des Alphabets steht demnach C!
Der Decodierer muss den Schlüssel oder den sogenannten Code kennen, um die Nachricht lesen zu können. Man nennt diese Verschlüsselung „Cäsar-Chiffre“!
Das Verschieben von Buchstaben um 2, 3 oder 10 Buchstaben ist simpel. Deshalb wurden immer wieder neue Verfahren entwickelt. Im Mittelalter kam eine andere Verschlüsselung auf; man nannte sie nach seinem Begründer „Vigenère-Chiffre“. Mit Hilfe eines Schlüssel- wortes wird die Reihenfolge der Geheimtextalphabete bestimmt. Das Schlüsselwort
„Wikipedia“ bedeutet: Benutze als Verschlüsselung für den ersten Buchstaben des Geheimalphabets das mit „W“ beginnt, für den zweiten Buchstaben, dasjenige, das mit „I“
beginnt, usw. Somit wird die Entschlüsselung einer Nachricht viel viel schwieriger…
Den ersten Quantensprung ermöglichte die Mechanisierung, den nächsten die Elektrizität und die Kombination von Strom und Mechanik. Spitzenprodukte waren bis zum Ende des zweiten Weltkrieges das deutsche Chiffriergerät Enigma (=Rätsel), das automatisch chiffrierte, und das amerikanische Gegenstück C-36 des Schweden Boris Haegelin, der nach dem Krieg 1952 in Zug die heute auf diesem Gebiet führende Firma Crypto AG gründete! (http://www.crypto.ch)
In den 70-er Jahren ging die Ära der Elektromechanik zu Ende.
Die Elektronik hielt Einzug und damit die Digitalisierung.
Entsprechend der Arbeitsweise von Computern arbeiten moderne kryptografische Verfahren nicht mehr mit ganzen Buchstaben, sondern mit einzelnen Bits der Daten. Dies vergrössert die Möglichkeiten der Verschlüsselung erheblich. Gearbeitet wird seither praktisch nur noch mit den Ziffern 0 und 1.
Moderne Krypto-Verfahren lassen sich in zwei Klassen einteilen:
A. Symmetrische Verfahren
Diese Verfahren verwenden wie die klassischen Methoden einen geheimen Schlüssel pro Kommunikationsbeziehung für alle Operationen. Der Schlüssel für das Verschlüsseln ist der gleiche wie für das Entschlüsseln.
B. Asymmetrische Verfahren
Für den bislang grössten Durchbruch in der Kryptografie stehen zwei Begriffe:
„Asymmetrische Chiffrierung“ und „öffentlicher Schlüssel“ (public key). Hier gibt’s pro Teilnehmer einen privaten und einen öffentlichen Schlüssel.
Ein vereinfachtes Beispiel soll die Methode erklären:
Der Postbote bringt die Briefe in den Briefkasten. Jedermann könnte im Briefkasten eine Botschaft ablegen. Die Öffnung des Briefkastens ist öffentlich.
Geöffnet kann der Briefkasten jedoch nur von einer Person. Man braucht dazu den passenden Briefkastenschlüssel. So ist der Schlüssel zum Öffnen des Briefkastens privat.
Und nun wird’s definitiv zu kompliziert für uns…☺.
Wir befassen uns in den nächsten Lektionen vor allem mit den unterschiedlichen Zahlensystemen und später mit zwei interessanten Codes, der alten AHV/IV-Versicherten- nummer und dem allgegenwärtigen EAN-Strichcode!
1. Das wichtigste Zahlensystem in der Elektronik: Das Dualsystem
Das heute benutzte Dezimalzahlensystem geht auf die Inder zurück und ist durch die Araber um 1200 n. Chr. nach Europa gebracht worden. Es vergingen aber noch rund 300 Jahre, bis es das römische System ablöste. Besonders die Lehrbücher von Adam Riese (1492 – 1559) machten das Dezimalsystem im deutschsprachigen Raum bekannt.
Schon im 13. Jahrhundert verwendete Leonardo da Pisa (auch Fibonacci genannt) gelegentlich das Zweiersystem (Dualsystem oder binäres
Zahlensystem). Leonardo wurde in der zweiten Hälfte des 12. Jahrhunderts geboren, mutmaßlich in Pisa, da er Pisa als „patria“ bezeichnet. Er war wohl der bedeutendste Mathematiker des Mittelalters.
Die Darstellung der Zahlen nur mit den Ziffern 0 und 1 wurde mystisch gedeutet. Die Null war das Symbol für das Nichts und die Eins symbolisierte die göttliche Schöpfung!
Die grosse Bedeutung des Dualsystems beruht heute auf der Anwendung in elektronischen Anlagen. Ein elektronisches System hat grundsätzlich die Zustände:
- ein: Strom fliesst entspricht …..
- aus: Strom fliesst nicht entspricht …..
A. Vom Aufbau der Zahlen – die Bausteine:
Zehner- oder Dezimalsystem:
234510 = ………..………
Zweier-, Binär- oder Dualsystem:
10112 = ……….……….
B. Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl:
43210 = ………
= ………
= ………
9710 = ………
………
C. Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl:
10102 = ………
………
110112 = ………
………
… 105 104 103 102 101 100
… 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Anfang 18. Jahrhundert wurde das Dualsystem von Gottried Wilhelm Leibnitz in seinem Artikel „Explication de l’Arithmetique Binaire“ vollständig dokumentiert.
1854 veröffentlichte der britische Mathematiker George Boole eine richtungsweisende Arbeit, die noch heute als „Boolsche Algebra“ bekannt ist. Sein logisches System eröffnete definitiv die Möglichkeit, elektronische Schaltkreise zu konstruieren.
1937 realisierte Claude Shannon erstmals aus der Boolschen Algebra elektronische Relais und Schalter. Gleichzeitig wurde zum ersten Mal ein Rechner konstruiert, welcher die Addition im Dualsystem beherrschte. Dies gelang George Stibitz.
1941 konstruierte Konrad Zuse den ersten programmierbaren Binärrechner, den Z3! Konrad Zuse ging als Vater des Computers in die Geschichte ein!!!
Hier wird nun also der Verknüpfung der Fächer Mathematik und Informatik hautnah spürbar…
2. Grundoperationen im Dualsystem
Analog zu den Zahlen im Dezimalsystem lassen sich mit Dualzahlen die gängigen arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.
Die Einführung der Dualzahlen in die Rechentechnik brachte viele Vorteile. Die Operationen lassen sich gut als elektronischen Schaltungen realisieren.
A. Schriftliche Addition
Die binäre Addition ist eine grundlegende Basisoperation in der Computerwelt. Das Prinzip ist das gleiche wie bei der Addition von Dezimalzahlen. Die Zahlen werden übereinander notiert. Nun arbeitet man alle Binärziffern (Bits) von A und B ab, erzeugt in jedem Zwischenschritt ein Ergebnisbit sowie ein Merkerbit (auch Übertrag genannt).
Selbstverständlich gilt: 1 + 1 ≠ 2 !
Hier nun ein Beispiel dazu: Zahl A: 10110 entspricht: ...
Zahl B: 1101 entspricht: ...
Merkerbit: 1 1
Ergebnisbit: 100011 entspricht: ...
Berechne die folgenden Summen:
a. 1 1 0 1 0 b. 1 0 1 0 c. 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
B. Schriftliche Subtraktion
Die Subtraktion verhält sich analog zur Addition! Eine Zahl im Dualsystem kann von der anderen wie im folgenden Beispiel dargestellt subtrahiert werden:
1 1 0 1 1 1 0 entspricht: ...
- 1 0 1 1 1 entspricht: ...
1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 entspricht: ...
Die kleinen Einsen in der dritten Reihe zeigen den Übertrag. Etwas ungewohnt sieht der Fall 0–1 aus. Die gedachte Zehnerstelle wird dann als Übertrag an die nächste Stelle weiter- gereicht. Das heisst: aus 0–1 wird 10–1. Das Ergebnis ist dann 1. Und die 1 vor der Null muss als Übertrag an die nächste Stelle weiter gegeben werden…
Berechne die folgenden Differenzen:
a. 1 1 0 1 0 b. 1 0 1 0 c. 1 1 0 0 1 1 0 0 - 1 1 1 1 - 1 1 0 - 1 0 1 0 1 0 1
Die schriftliche Multiplikation und Division schauen wir nicht an.
3. Andere Zahlensysteme
Es gibt ganz viele verschiedene Zahlensysteme. Ihr Aufbau ist stets analog zum 10-er oder zum 2-er System!
Beispiel:
2223 = 2 32 + 2 31 + 2 30
= ... somit gilt: ...
Jede Zahl ist also als Summe von Potenzen darstellbar. Das System gibt gerade die Basis der Potenz an.
Einige Übungsbeispiele:
a. Umrechnung ins 10-er System:
1234 = ... 10223 = ...
889 = ... 5436 = ...
b. Umkehrung:
7910 = ...3 ... 12510 = ...5 ...
c. Ein kleines Rätsel: Findest du das Lösungswort?
4. Umrechnung ins 10-er System
5556 = ...
4245 = ...
78029 = ...
101002 = ...
22103 = ...
321004 = ...
63457 = ...
706158 = ...
12 = ...
8889 = ...
120123 = ...
120124 = ...
120125 = ...
125 = ...
6667 = ...
100003 = ...
100005 = ...
Einige Aufgaben selber erfinden und lösen:
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
5. Umrechnung in verschiedene Zahlensysteme
5010 = ...2 ...
2010 = ...3 ...
100010 = ...4 ...
9110 = ...5 ...
76510 = ...6 ...
543210 = ...7 ...
22210 = ...8 ...
50010 = ...9 ...
50010 = ...2 ...
12710 = ...2 ...
10010 = ...6 ...
10010 = ...7 ...
10010 = ...8 ...
10010 = ...9 ...
2510 = ...2 ...
20010 = ...2 ...
20010 = ...3 ...
Einige Aufgaben selber erfinden und lösen:
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
6. Noch ein paar Übungen a. Rätsel
b. PC-Umrechnung
Windows bietet im Menü Programme unter Zubehör einen Rechner an, welchen man auf
„wissenschaftlich“ einstellen und mit welchem man Dual-, Oktal, Dezimal- und Hexadezimalzahlen umrechnen kann. Zudem lassen sich auch einfache Operationen ausführen!!!
Das Hexadezimalsystem (16-er) ist genau gleich aufgebaut wie die anderen Zahlensysteme.
Das Problem liegt darin, dass wir jedoch nur 10 Ziffern kennen, nun aber 16 brauchen. Hier nehmen wir die ersten sechs Buchstaben des Alphabets zur Hilfe:
Die Ziffern des Hexadezimalsystems: ………..
A = .…, B = .…, C = .…, D = .…, E = .…, F = .…
Die Bausteine des Hexadezimalsystems:
Zwei Beispiele: A516 = …………. 10 ………..
224310 = ………... 16 ………..
Der wissenschaftliche Taschen- rechner befindet sich im PC unter:
- Alle Programme - Zubehör
- Taschenrechner
(Ansicht wissenschaftlich)
… 165 164 163 162 161 160
7. Die AHV- und IV-Versichertennummer
Die Alters-, Hinterlassenen- und Invaliden-Versicherung (kurz AHV und IV) gilt zu Recht als eines der grossen Sozialwerke der Schweiz, weil die erwerbstätigen Personen mit einem Teil ihres Lohns die älteren, bereits pensionierten Menschen, die gesundheitlich und körperlich Behinderten sowie Waisen und Witwen unterstützen.
Jede Person, die in der Schweiz arbeitet oder lebt, Ausländer und Schweizer, muss daher irgendwie registriert werden. Die neue Versichertennummer ist so aufgebaut, dass sie wichtige Persönlichkeitsdaten in verschlüsselter (codierter) Form auf sich trägt. Die alte Nummer konnte – wie wir dies im folgenden Beispiel zeigen – recht gut hergeleitet werden.
Deshalb wurde sie aus technischen und datenschutzrechtlichen Gründen auf den 1. Juli 2008 durch eine neue Nummer ersetzt!
Die alte Versichertennummer von Frau Muster lautete: 674.65.872.141 Hinter dieser Nummer steckten folgende Informationen über Frau Muster:
Familienname Geburtsjahr Geschlecht/
Geburtstag
Ordnungsnummer Prüfziffer
1.Ziffer 2.Ziffer 3.Ziffer 4.Ziffer 5.Ziffer 6.Ziffer 7.Ziffer 8.Ziffer 9.Ziffer 10.Ziffer 11.Ziffer
Im Detail sah es folgendermassen aus:
Familienname
1.Ziffer 2.Ziffer 3.Ziffer
Die erste Zifferngruppe gab einen Hinweis auf den oder die Anfangsbuchstaben des Familiennamens. Dazu gab es eine Tabelle mit einem 900-teiligen Alphabet!
Geburtsjahr
4.Ziffer 5.Ziffer
In der zweiten Zifferngruppe wurden vom Geburtsjahr lediglich die letzten beiden Ziffern aufgeführt:
1965 = ...
Geschlecht/
Geburtstag
6.Ziffer 7.Ziffer 8.Ziffer
Die dritte Zifferngruppe für Geschlecht und Geburtstag orientierte sich am Kalender. Ihre erste Ziffer bezeichnete gleichzeitig das Geschlecht der Person und zeigte an, in welchem Quartal (Vierteljahr) der Geburtstag lag:
Quartal Person
männlich weiblich
1. Quartal (Beginn Januar) 1 5
2. Quartal (Beginn April) 2 6
3. Quartal (Beginn Juli) 3 7
4. Quartal (Beginn Oktober) 4 8
Das zweite Ziffernpaar gab die Anzahl der Tage vom Quartalsbeginn bis zum Geburtstag an, wobei ein neuer Monat immer nach 31 Tagen begann!
872 bedeutete also: Geburtstag einer ... am ...! (...) Ordnungsnum-
mer
Prüfziffer
9.Ziffer 10.Ziffer 11.Ziffer
Es könnte sein, dass mehrere Personen dieselbe Stammnummer erhalten. Um Klarheit zu schaffen, wird jeder Person noch eine zweistellige Ordnungsnummer und eine einstellige Prüfzimffer zugeteilt.
Die neue und alte Nummer im Vergleich:
8. Der EAN-Strichcode bzw. die Europäische Artikel Nummer
Nachdem in den USA bereits 1973 eine einheitliche Artikelbezeichnung eingeführt wurde, gründeten 1977 Vertreter 12 europäischer Länder den Europäischen Artikel-Nummerierungs- Verband, der in Anlehnung ans amerikanische System den EAN-Code ausarbeitete.
In der Schweiz wird die Betriebsnummer der EAN von der 1976 gegründeten Schweize- rischen-Artikelcode-Vereinigung vergeben.
Beim Einsatz von Kassen mit optischen Lesegeräten, den sogenannten Scannern, kommt es sehr selten zu Lesefehlern. Obwohl durch den EAN-Code und das Lesegerät einerseits die Arbeit des Kassierpersonals in Selbstbedienungsläden erleichtert, aber auch jederzeit besser kontrollierbar wird und andererseits der Kunde schneller und mit einem ausführlicheren Kassencoupon bedient werden kann, sind das nicht die Hauptgründe zur Einführung des Strichcodes. Vielmehr ist die automatische Lagerbewirtschaftung das ausschlaggebende Moment. Jederzeit kann man sich über den zentralen Rechner Überblick über den Lagerbestand verschaffen: Welche Produkte müssen in den Regalen aufgefüllt und was muss dringend nachbestellt werden?
Bei den Strichcodes findest du unter dem Streifenmuster meistens 13 Ziffern. Sie enthalten für die Schweiz die folgende Informationen:
Präfix 76 kennzeichnet die Schweiz 2-stellig 76 Herstellercode vergeben von EAN Schweiz
Teilnehmernummer
(Identifikation des EAN Mitgliedes)
7-stellig 1234567
Artikelnummer vergeben vom Hersteller
Produkte- und/oder Adressidentifikation 3-stellig 890
7612345678900 Prüfziffer 1-stellig 0
Das Lesegerät oder der Lesestift bei den Kassen in den Läden kann nicht direkt die Ziffern des EAN-Codes einlesen, sondern nur das Zebra-Streifen-Muster. Computer können nur 0 oder 1 („Strom ein“ oder „Strom aus“) verstehen. Das Lesegerät übersetzt die Striche und die Zwischenräume in Folgen aus 0 und 1.
Wie sind die Ziffern der EAN in Striche und Zwischenräume aufgebaut?
- Anfang und Ende werden durch 101 und die Mitte durch 01010 codiert. (Doppelstriche) - Die erste Ziffer der 13stelligen EAN wird nicht direkt verschlüsselt. Sie gibt an,
wie die nächsten 6 Ziffern zu codieren sind!
- Die weiteren 6 Ziffern der EAN werden mit der Codierspalte C verschlüsselt.
Und nun folgen einige Übungen:
1. In welchen Ländern wurden die folgenden Produkte hergestellt oder zumindest abgepackt?
(siehe Tabelle Lehrperson!)
9. Data Matrix Code
Eine Weiterentwicklung des eindimensionalen EAN-Codes , mit beschränkter Daten-
kapazität, so wie wir ihn z. B. von Lebensmittelverpackungen her kennen, ist der Data Matrix Code (2D-Code). Mit der Anordnung von horizontalen und vertikalen (2D = Zweidimensional) schwarz-weißen Feldern ist eine hohe Informationsdichte möglich, die zudem von
entsprechenden Lesegeräten in jeder Lage ausgelesen werden können.
Es existieren mehrere 2D-Codes:
Was bringt das?
Eine wichtige Eigenschaft ist die relativ hohe Informationsdichte, die 2D-Codes beinhalten können. Eine zweite wichtige Tatsache besteht darin, dass zum Lesen der codierten Information lediglich eine Kamera mit einem Rechner erforderlich ist. Toll, wird sich mancher denken, also jede Menge komplizierter Technik die man da braucht. Das stimmt im Prinzip auch, allerdings haben viele in Form eines Handies mit eingebauter Kamera heute schon genügend von der erforderlichen Technik ständig in der Tasche. (Fast) Jeder kann diese Codes also lesen.
Diese beiden Eigenschaften machen die 2D-Codes echt spannend. Denn es gibt schier unendlich viele Anwendungsmöglichkeiten dafür. Man könnte etwa einen solchen Code auf seine Visitenkarte drucken. Der Emfänger kann diesen mit seinem Handy lesen und die Daten direkt in seinem Telefonbuch speichern. Man kann in so einem Code eine Internet- Adresse codieren und irgendwo hin drucken, z. B. in eine Zeitung. Der Leser, der vielleicht mehr zu einem bestimmten Thema erfahren möchte, fotografiert diesen Code mit seiner Handycamera und schon erscheint auf dem Handydisplay eine Internetseite mit weiteren Informationen oder sogar ein Film. Internet auf dem Handy ist heute keine wirkliche Hexerei mehr. Es könnte auch ein Filmplakat sein, von dem man direkt auf eine Seite zur Buchung von Kinokarten kommen kann (das heisst dann Mobile Tagging), oder ein T-Shirt mit der eigenen Telefonnummer als Code.
Diese 2D-Codes sind also DIE Schnittstelle zwischen gedruckten Medien oder bedruckten Produkten und dem Internet. Man könnte auch sagen, Sie sind die Hyperlinks der Printmedien. Das Beste ist aber, dass sowohl das Lesen der Codes, als auch das Erzeugen eines eigenen Codes wirklich einfach ist.
Wie kann ich solche 2D-Codes lesen?
Benötigt wird im Wesentlichen ein Handy mit eingebauter Kamera. Je gängiger das Modell ist, desto grösser ist die Wahrscheinlichkeit, dass es dafür die entsprechende Software gibt.
Zu empfehlen ist dafür der Kaywa Reader, der für viele Handies kostenlos erhältlich ist.
Auf der Internet-Seite (http://reader.kaywa.com/) kann man sich informieren, ob die Software für das eigene Handymodell verfügbar ist. Mit ihr kann man Datamatrix und QR-Codes lesen, die sehr weit verbreitet sind.
Anschliessend geht man mit dem Internet-Browser des Handies ins Internet und gibt dort obige Internetadresse ein. Nach wenigen Klicks wird das Herunterladen der Software gestartet. Das Handymodell wird dabei automatisch erkannt. Man kann also nichts falsch machen.
Wenn der Download beendet ist, wird das Programm quasi automatisch installiert.
Je besser die Kamera (höhere Auflösung, Autofocus und Makro-Funktion) ist, desto besser funktioniert das Decodieren; insbesondere, wenn die Codes relativ klein gedruckt sind.
Hier können Datamatrix und QR-Codes erzeugt werden:
http://invx.com/
