Auf X seien die Normen ||.|| 1 und ||.|| 2 erkl¨ art.

(1)

Methoden der mathematischen Physik Ubungsaufgaben , Serie 2: ¨

PD Dr. B. Rummler 18.04. 2017

1) (Norm¨ aquivalenz auf endlichdimensionalen linearen VR)

Vorgegeben sei der endlichdimensionale lineare Vektorraum X uber dem K¨ ¨ orper R . Die Dimension von X sei N := dim X . Eine Basis von X sei durch {a _j } ^N _j=1 gegeben.

Auf X seien die Normen ||.|| ₁ und ||.|| ₂ erkl¨ art.

a) Zeigen Sie die ¨ Aquivalenz der beide Normen, also: Die Existenz zweier positiver Konstanten m, M mit 0 < m < M < ∞, so dass

m · ||x|| ₁ ≤ ||x|| ₂ ≤ M · ||x|| ₁ f¨ ur alle x ∈ X gilt.

b) Zeigen Sie, dass ein endlichdimensionaler linearer Teilraum X des normierten Raumes Y im Sinne von X ⊂ Y abgeschlossen ist.

c) Zeigen Sie, dass ein System von Halbnormen {p _k (.)} ^K _k=1 auf X mit der Eigen- schaft, dass

x ∈ X mit x 6= o X ∃ k ∈ {1, . . . , K} mit p k (x) 6= 0

eine Hausdorffsche Topologie auf X induziert. Konstruieren Sie mit diesem System von Halbnormen eine Metrik auf X!

2) Vorgegeben seien die Funktionen-Folgen {f _k (.)} ^∞ _k=1 mit f _k : E ¹ → E ¹ ∀ k = 1, 2, 3, . . . Untersuchen Sie die Folgen auf punktweise Konvergenz, bei

a) f _k (t) := ^k ₂ exp (−k |t|) ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . .

b) f _k (t) := ^2k _π (exp (−k t) + exp (k t)) ⁻¹ ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . . c) f _k (t) := _π ^k (1 + k ² t ² ) ⁻¹ ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . .

3) Gegeben sei die Funktion f (x) =

⁶

√ x

x im Intervall (0, 1].

Zu welchen R¨ aumen L p ((0, 1)) = L p (0, 1), p ≥ 1, geh¨ ort f (x) (- als Repr¨ asentant einer ¨ Aquivalenzklasse -)?

4) Die Menge F ⊂ E ⁿ sei kompakt, [X, A, µ] := [ R ⁿ , A _µ

_L

, µ _L ] und der Abstand eines Punktes x ∈ E ⁿ von der Menge F sei erkl¨ art durch:

ρ F (x) := inf

y∈F (||x − y|| _E

ⁿ

) . Zeigen Sie:

a) F¨ ur alle x ∈ E ⁿ gilt f¨ ur die charakteristische Funktion χ _F (.) von F : χ _F (x) = lim

Auf X seien die Normen ||.|| 1 und ||.|| 2 erkl¨ art.

Methoden der mathematischen Physik Ubungsaufgaben , Serie 2: ¨

PD Dr. B. Rummler 18.04. 2017

1) (Norm¨ aquivalenz auf endlichdimensionalen linearen VR)

Vorgegeben sei der endlichdimensionale lineare Vektorraum X uber dem K¨ ¨ orper R . Die Dimension von X sei N := dim X . Eine Basis von X sei durch {a _j } ^N _j=1 gegeben.

Auf X seien die Normen ||.|| ₁ und ||.|| ₂ erkl¨ art.

a) Zeigen Sie die ¨ Aquivalenz der beide Normen, also: Die Existenz zweier positiver Konstanten m, M mit 0 < m < M < ∞, so dass

m · ||x|| ₁ ≤ ||x|| ₂ ≤ M · ||x|| ₁ f¨ ur alle x ∈ X gilt.

b) Zeigen Sie, dass ein endlichdimensionaler linearer Teilraum X des normierten Raumes Y im Sinne von X ⊂ Y abgeschlossen ist.

c) Zeigen Sie, dass ein System von Halbnormen {p _k (.)} ^K _k=1 auf X mit der Eigen- schaft, dass

x ∈ X mit x 6= o X ∃ k ∈ {1, . . . , K} mit p k (x) 6= 0

eine Hausdorffsche Topologie auf X induziert. Konstruieren Sie mit diesem System von Halbnormen eine Metrik auf X!

2) Vorgegeben seien die Funktionen-Folgen {f _k (.)} ^∞ _k=1 mit f _k : E ¹ → E ¹ ∀ k = 1, 2, 3, . . . Untersuchen Sie die Folgen auf punktweise Konvergenz, bei

a) f _k (t) := ^k ₂ exp (−k |t|) ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . .

b) f _k (t) := ^2k _π (exp (−k t) + exp (k t)) ⁻¹ ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . . c) f _k (t) := _π ^k (1 + k ² t ² ) ⁻¹ ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . .

3) Gegeben sei die Funktion f (x) =

√ x

x im Intervall (0, 1].

Zu welchen R¨ aumen L p ((0, 1)) = L p (0, 1), p ≥ 1, geh¨ ort f (x) (- als Repr¨ asentant einer ¨ Aquivalenzklasse -)?

4) Die Menge F ⊂ E ⁿ sei kompakt, [X, A, µ] := [ R ⁿ , A _µ

, µ _L ] und der Abstand eines Punktes x ∈ E ⁿ von der Menge F sei erkl¨ art durch:

ρ F (x) := inf

y∈F (||x − y|| _E

) . Zeigen Sie:

a) F¨ ur alle x ∈ E ⁿ gilt f¨ ur die charakteristische Funktion χ _F (.) von F : χ _F (x) = lim

k→∞

1 1 + kρ _F (x) .

b) F¨ ur E ∈ A µ

mit µ _L (E) < ∞ gilt im Sinne der Konvergenz im L ^p (E),

(p ∈ [1, ∞)): {[ ¹

1 + kρ _F (x) ]} ^∞ _k=1 −→ [χ _F (x)]

Auf X seien die Normen ||.|| 1 und ||.|| 2 erkl¨ art.

Methoden der mathematischen Physik Ubungsaufgaben , Serie 2: ¨

PD Dr. B. Rummler 18.04. 2017

1) (Norm¨ aquivalenz auf endlichdimensionalen linearen VR)

Vorgegeben sei der endlichdimensionale lineare Vektorraum X uber dem K¨ ¨ orper R . Die Dimension von X sei N := dim X . Eine Basis von X sei durch {a j } N j=1 gegeben.

Auf X seien die Normen ||.|| 1 und ||.|| 2 erkl¨ art.

a) Zeigen Sie die ¨ Aquivalenz der beide Normen, also: Die Existenz zweier positiver Konstanten m, M mit 0 < m < M < ∞, so dass

m · ||x|| 1 ≤ ||x|| 2 ≤ M · ||x|| 1 f¨ ur alle x ∈ X gilt.

b) Zeigen Sie, dass ein endlichdimensionaler linearer Teilraum X des normierten Raumes Y im Sinne von X ⊂ Y abgeschlossen ist.

c) Zeigen Sie, dass ein System von Halbnormen {p k (.)} K k=1 auf X mit der Eigen- schaft, dass

x ∈ X mit x 6= o X ∃ k ∈ {1, . . . , K} mit p k (x) 6= 0

eine Hausdorffsche Topologie auf X induziert. Konstruieren Sie mit diesem System von Halbnormen eine Metrik auf X!

2) Vorgegeben seien die Funktionen-Folgen {f k (.)} ∞ k=1 mit f k : E 1 → E 1 ∀ k = 1, 2, 3, . . . Untersuchen Sie die Folgen auf punktweise Konvergenz, bei

a) f k (t) := k 2 exp (−k |t|) ∀ t ∈ E 1 , k = 1, 2, 3, . . .

b) f k (t) := 2k π (exp (−k t) + exp (k t)) −1 ∀ t ∈ E 1 , k = 1, 2, 3, . . . c) f k (t) := π k (1 + k 2 t 2 ) −1 ∀ t ∈ E 1 , k = 1, 2, 3, . . .

3) Gegeben sei die Funktion f (x) =

√ x

x im Intervall (0, 1].

Zu welchen R¨ aumen L p ((0, 1)) = L p (0, 1), p ≥ 1, geh¨ ort f (x) (- als Repr¨ asentant einer ¨ Aquivalenzklasse -)?

4) Die Menge F ⊂ E n sei kompakt, [X, A, µ] := [ R n , A µ

, µ L ] und der Abstand eines Punktes x ∈ E n von der Menge F sei erkl¨ art durch:

ρ F (x) := inf

y∈F (||x − y|| E

) . Zeigen Sie:

a) F¨ ur alle x ∈ E n gilt f¨ ur die charakteristische Funktion χ F (.) von F : χ F (x) = lim

k→∞

1 1 + kρ F (x) .

b) F¨ ur E ∈ A µ

mit µ L (E) < ∞ gilt im Sinne der Konvergenz im L p (E),

(p ∈ [1, ∞)): {[ 1

1 + kρ F (x) ]} ∞ k=1 −→ [χ F (x)]

Vorgegeben sei der endlichdimensionale lineare Vektorraum X uber dem K¨ ¨ orper R . Die Dimension von X sei N := dim X . Eine Basis von X sei durch {a _j } ^N _j=1 gegeben.

Auf X seien die Normen ||.|| ₁ und ||.|| ₂ erkl¨ art.

m · ||x|| ₁ ≤ ||x|| ₂ ≤ M · ||x|| ₁ f¨ ur alle x ∈ X gilt.

c) Zeigen Sie, dass ein System von Halbnormen {p _k (.)} ^K _k=1 auf X mit der Eigen- schaft, dass

2) Vorgegeben seien die Funktionen-Folgen {f _k (.)} ^∞ _k=1 mit f _k : E ¹ → E ¹ ∀ k = 1, 2, 3, . . . Untersuchen Sie die Folgen auf punktweise Konvergenz, bei

a) f _k (t) := ^k ₂ exp (−k |t|) ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . .

b) f _k (t) := ^2k _π (exp (−k t) + exp (k t)) ⁻¹ ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . . c) f _k (t) := _π ^k (1 + k ² t ² ) ⁻¹ ∀ t ∈ E ¹ , k = 1, 2, 3, . . .

4) Die Menge F ⊂ E ⁿ sei kompakt, [X, A, µ] := [ R ⁿ , A _µ

, µ _L ] und der Abstand eines Punktes x ∈ E ⁿ von der Menge F sei erkl¨ art durch:

y∈F (||x − y|| _E

a) F¨ ur alle x ∈ E ⁿ gilt f¨ ur die charakteristische Funktion χ _F (.) von F : χ _F (x) = lim

1 1 + kρ _F (x) .

mit µ _L (E) < ∞ gilt im Sinne der Konvergenz im L ^p (E),

(p ∈ [1, ∞)): {[ ¹

1 + kρ _F (x) ]} ^∞ _k=1 −→ [χ _F (x)]