Funktionalanalysis 4. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik Wintersemester 2012/2013
Prof. Dr. Burkhard Kümmerer 08./09. November 2012
Andreas Gärtner
Gruppenübung
Aufgabe G14 (Eine Ungleichung)
Sei Mn(C) der Vektorraum der komplexen n×n-Matrizen und tr : Mn(C) → C die Spur auf Mn(C). Zeigen Sie, dass für alleA,B∈Mn(C)gilt:
tr(B∗A)
2≤tr(A∗A) tr(B∗B).
Hinweis:An welche Ungleichung aus der Vorlesung erinnert Sie das?
Aufgabe G15 (Hilbertraumnorm) Sei(H,k · k)ein Prä-Hilbertraum.
(a) Zeigen Sie: Für x,y∈H mitkxk=kyk=1undx 6= y ist k12x+12yk<1.
(b) Interpretieren Sie die Aussage aus (a) geometrisch: Wie sieht die Einheitskugel von(H,k·k) aus?
(c) Zeigen Sie mit Hilfe von (a), dass die Normen k · k1 und k · k∞ auf Cn nicht von einem Skalarprodukt erzeugt werden.
Aufgabe G16 (Projektionen und stop-Konvergenz)
SeiH:= L2(R,λ)und für n∈Nseiχ[−n,n] die charakteristische Funktion von[−n,n]und Pn: H→H: f 7→χ[−n,n]· f .
(a) Für n∈ Nsei Kn :=
f ∈H : f(x) =0für x∈R\[−n,n]fast überall . Zeigen Sie, dass jedesKn ein abgeschlossener Teilraum ist.
(b) Zeigen Sie, dass Pn die orthogonale Projektion vonH aufKn ist fürn∈N. (c) Zeigen Sie, dass stop-lim
n→∞
Pn=1 gilt.
Aufgabe G17 (Keine Hilbertraumnorm)
Zeigen Sie: Für1< p<∞, p 6=2, ist|| · ||p aufCn keine Hilbertraum-Norm, d.h., keine Norm, die von einem Skalarprodukt kommt. (Warum reicht es, das für n=2zu überprüfen?)
1
Hausübung
Aufgabe H11 (Große Einheitskugeln) (1 Punkt)
(a) Finden Sie in den Einheitskugeln von(C([0, 1]),||·||∞), und von(Lp([0, 1]),||·||p)konkrete Beispiele von Folgen, die keine konvergente Teilfolge enthalten.
(b) Auf`∞(N)betrachten wir||x||Q :=lim supn|xn|für x = (xn)n∈N∈`∞(N).
(i) Zeigen Sie:|| · ||Q ist eine Halbnorm auf`∞(N) und es ist||x||Q=0genau dann, wenn x∈c0(N).
(ii) Zeigen Sie, dass ||x||Q = ||[x]||0, wobei || · ||0 die Quotientennorm auf `∞(N)/c0(N) bezeichnet.
(c) Bestimmen Sie eine überabzählbare Teilmenge M der abgeschlossenen Einheitskugel von (`∞(N)/c0(N),k · k0)mit der Eigenschaft, dasskx− yk0=1für x,y∈M, x6= y ist.
Hinweis: Betrachten Sie Null-Eins-Folgen. Wann sind zwei Null-Eins-Folgen in derselben Äquivalenzklasse?
Aufgabe H12 (Skalarprodukt auf Quotienten) (1 Punkt) SeiV ein Vektorraum mit Semi-Skalarprodukt <, > und seiN :={x∈V :<x,x>=0}. Zeigen Sie: Auf dem Quotientenraum V/N ist <[x],[y]> := <x,y> ein wohldefiniertes Skalarprodukt. (Formulieren Sie Ihre Lösung besonders sorgfältig!)
Aufgabe H13 (Summen abgeschlossene Teilräume und Orthogonalität) (1 Punkt) SeiHein Hilbertraum und M,N zwei abgeschlossene Teilräume vonH.
(a) SeiM ⊥N, d.h.〈x,y〉=0für allex∈ M und y∈N. Zeigen Sie, dass die MengeM+N :=
x+y : x∈ M,y∈N abgeschlossen ist.
(b) Sei M ⊥N undM+N =H. Beweisen Sie, dass N =M⊥ ist.
(c) SeiA⊆Heine beliebige Teilmenge. Zeigen Sie, dassA⊥=span(A)⊥ist, wobeispan(A)den linearen Spann / die lineare Hülle vonAbezeichnet.
2
