6. Übungsblatt zur Vorlesung

Fachbereich Mathematik Mohamed Barakat Wintersemester 2013/14

6. Übungsblatt zur Vorlesung

„Einführung in die Funktionentheorie“

Abgabetermin: 29. Januar, 11:00.

Aufgabe 1. Für welche der folgenden Funktionsvorschriften istz₀ = 0 eine isolierte Singularität? Bestimme gegebenenfallsord₀f:

(1) f(z) =z²·logz;

(2) g(z) = ^sin(z6+z7)

e^cos(z2)−1−1;

(3) h(z) = z^k·e^g(z)+g(z)1 für k ∈Zund g aus (b).

Zu welcher der obigen Funktionen gehört das folgende um0 zentrierte farbige Bild?

Lese die Ordnung bei 0 an den Farben ab.

Aufgabe 2. Seien z₀ ∈U ⊂Coffen und f :U \ {z₀} →C holomorph. Zeige:

(1) Ist z₀ eine Polstelle von f, so ist z₀ eine Polstelle der Ordnung 1 von ^f_f⁰. (2) Die Funktion e^f(z) hat keine Polstelle in z₀.

Folgende Aufgabe ist eine freiwillige Zusatzaufgabe.

Aufgabe 3. Seienz₁, . . . , z_n∈U ⊂Coffen undf :U\{z₁, . . . , z_n} →Cholomorph.

Zeige: Ist kein z_i eine wesentliche Singularität und lim_|z|→∞f(z) = 0, so ist f eine rationale Funktion f(z) = ^p(z)_q(z) mit zwei Polynomen p, q mit degp <degq.

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Aufgabe 4. Bestimme Aut(C), d.h. die Menge aller holomorphen Funktionen f : C→C mit holomorphem Inversen f⁻¹.

Hinweis: Betrachte die isolierten Singularitäten der Funktionf ¹_z

und benutze den Satz von Casorati-Weierstraß.