6. Übungsblatt zur Vorlesung „Grundlagen der Geometrie“

Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt

Mathematisch-Geographische Fakultät Mohamed Barakat

Sommersemester 2014

6. Übungsblatt zur Vorlesung „Grundlagen der Geometrie“

Abgabetermin: 26. Juni, 15:30, vor Beginn der Übung.

Aufgabe 1. Sei K ein Schiefkörper. Zeige:

(a) Die Punktemenge P = K² und die Geradenmenge G = {a + Kb | a, b ∈ K² \ {0}} definieren mit dem Enthaltensein als Inzidenzrelation eine affine Ebene AK².

(b) Die affine Ebene AF²2 ist isomorph zur Inzidenzstruktur

∼=

aus Beispiel 1.2.3.

Aufgabe 2. Zeige: Die Abbildung

ϕ:H→C², a+ib+jc+kd7→ _{−c+id a−ib}^{a+ib c+id}

ist ein Monomorphismus von Ringen. Daher ist H isomorph zum Bild ϕ(H) :=

{(−w z^{z w})|z, w ∈C}. Bestimme Inverse in H und ϕ(H).

Aufgabe 3. Zeige: Die Fano-Ebene ist isomorph zu PF³2.

Aufgabe 4 (Freiwillige Zusatzaufgabe). Seien V ein (d+ 1)-dimensionaler Vektor- raum über einem Schiefkörper und H1 =PH₁,H2 =PH₂ zwei Hyperebenen in PV mit zugehörigen Untervektorräumen H₁, H₂. Zeige:

(a) Es gibt einen Isomorphismus von V, der H₁ auf H₂ abbildet.

(b) Es gibt einen Isomorphismus von PV, der H1 auf H2 abbildet.

(c) Die affinen Räume PV \H1 und PV \H2 sind isomorph.

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