4. Übungsblatt zur Vorlesung

Fachbereich Mathematik Mohamed Barakat Wintersemester 2013/14

4. Übungsblatt zur Vorlesung

„Einführung in die Funktionentheorie“

Abgabetermin: 18. Dezember, 11:00.

Aufgabe 1.

(1) Bestimme das Wegintegral Z

|z−1|=3

sin(z)

(z+π)^a(z−^π₂)^bdz.

für a, b∈N.

(2) Bestimme den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von _1+x+x2¹+x³+x⁴ um x₀ = 0,x₀ = 1 bzw. x₀ = 2.

Hinweis: Was ist ^x_x−1⁵⁻¹?

(3) Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe P∞

k=1ϕ(k)z^k wobei ϕ(k) = |(Z/kZ)^∗|=|{` ∈ {1, . . . , k} |ggT(`, k) = 1}|

die Eulerscheϕ-Funktion ist.

Aufgabe 2. Für z ∈C\R^≤0 definiere für a ∈C die komplexe Potenz z^a :=e^alogz,

mit log aus Übung 3.4.

Beweise für|z|<1die verallgemeinerte binomische Formel (1 +z)^a =

∞

X

k=0

a k

z^k, wobei ^a_k

:= a(a−1)···(a−k+1)

k! der verallgemeinerte Binomialkoeffizientist.

Aufgabe 3. Sei f eine ganze Funktion, n ∈ N0 und r, c∈ R^≥0 Konstanten derart, daß |f(z)| ≤ c|z|ⁿ für alle z ∈ C mit |z| ≥ r. Zeige: f ist ein Polynom vom Grad höchstens n.

Aufgabe 4. Das Bild einer ganzen nicht konstanten Funktionf ist dicht inC(d.h.

f(C) =C).

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