4. Übungsblatt zur Vorlesung

Fachbereich Mathematik Mohamed Barakat

Sommersemester 2012 Simon Hampe

4. Übungsblatt zur Vorlesung

„Einführung in die Topologie“

Abgabetermin: Mittwoch, 13. Juni, 11:00

Aufgabe 1. (Eigentliche Abbildung) Eine stetige Abbildung f :X → Y heißt ei- gentlich, falls Urbilder quasi-kompakter Mengen wieder quasi-kompakt sind. Zeige:

Istf :X →Y stetig und abgeschlossen mit quasi-kompakten Fasern (d.h.f⁻¹({y}) ist quasi-kompakt für alley∈Y) so ist f eigentlich.

Aufgabe 2.

(1) Sei G eine Gruppe die auf der Menge X operiert. Zeige:

(a) Das Bild des sogenannten Graphen der Operation α : G ×X → X×X, (g, x)7→(x, gx)ist eine Äquivalenzrelation auf X.

(b) Bezeichnet man diese Äquivalenzrelation mit ∼, so ist X/G=X/∼. (2) Beschreibe folgende Quotientenräume explizit (d.h. Topologie und zugrun-

deliegende Menge):

(a) X/A für X =R,A=R^∗ :=R\ {0}.

(b) X/A für X = [0,1], A= (0,1).

(c) X/ ∼ für X = RtR := {(x,0) | x ∈ R} ∪ {(x,1) | x ∈ R} und ∼ erzeugt von (x,0)∼(x,1) für 06=x∈R.

(d) X/∼ für X =RtR und ∼ erzeugt von (x,0)∼(x,1) für x∈R^<0. (e) X/∼fürX = [0,1]t[0,1] := ([0,1]× {0})∪([0,1]× {1})und∼erzeugt

von (x,0)∼(x,1)für x∈(0,1).

Welche Trennungseigenschaften erfüllen die Quotientenräume?

Aufgabe 3. Vervollständige den Beweis des Satzes 4.1.6 (Vervollständigungssatz metrischer Räume): Zeige, daß (X,b d)b vollständig und bis auf bijektive Isometrie eindeutig ist.

Aufgabe 4. Sei p ∈ N eine Primzahl. Für a, b ∈ Z definiere d_p(a, b) := p^−m für m∈Z^≥0 mit p^m |a−b und p^m+1 -a−b. Zeige:

(1) d_p ist eine Metrik auf X =Z.

(2) Jedes Element der metrischen Vervollständigung Xb = Zp (von Z bzgl. d_p) läßt sich eindeutig darstellen als eine Potenzreihe P∞

n=0a_npⁿ,0≤a_n < p.

(3) Bestimme die eindeutige Potenzreihendarstellung von −1∈Z⊂Zp.

1

Zusatzaufgabe¹. Sei G ∈ n

SL₂(R) := {g ∈ R^2×2 | det(g) = 1},SL^±₂(R) := {g ∈ R^2×2 |det(g) =±1}o

und g=sl2(R) :={A∈R^2×2|Spur(A) = 0}.

(1) Zeige: Die Abbildung G×g → g, (g, A) 7→ gAg⁻¹ ist eine Operation (die sogenannte adjungierte Operation der Lie-Gruppe G auf ihrer Lie- Algebra g.

(2) Beschreibe den Quotientenraum (=Bahnenraum mit Quotiententopologie) g/G explizit. Dabei ist g als Teilraum von R^2×2 ≈R⁴ zu verstehen.

(3) Taucht der Quotientenraum g/G(bis auf Homöomorphie) woanders in dem Übungsblatt auf?

Hinweis zu 2.: Identifizieregmit demR³. Die Determinante definiert eineG-invariante quadratische Form auf g.

1Für die erste korrekte Lösung wird ein Euro als Preis vergeben :)