Fachbereich Mathematik Mohamed Barakat Wintersemester 2013/14
5. Übungsblatt zur Vorlesung
„Einführung in die Funktionentheorie“
Abgabetermin: 15. Januar, 11:00.
Aufgabe 1. Beweise oder widerlege:
(1) Es gibt eine ganze Funktion f mit f n1
= nn23+1+1 für alle n∈N. (2) Es gibt eine ganze Funktion f mit f(n) = n+1n für alle n∈N.
(3) Es gibt eine nicht konstante holomorphe Funktion f : C \ {0} → C mit f 1n
= 0.
Aufgabe 2. Sei G⊂C ein x-achsensymmetrisches Gebiet, d.h. z ∈G ⇐⇒ z ∈G für alle z∈C. Definiere für eine holomorphe Funktion f :G→C die Funktion
f∗ :G→C, z7→f(z).
Zeige:
(1) f∗ ist ebenfalls holomorph.
(2) f(R∩G)⊂R ⇐⇒ f =f∗.
Alle aus der reellen Analysis auf C fortgesetzten holomorphen Funktionen erfül- len die Bedingungen aus (b), etwa rationale Funktionen mit reellen Koeffizienten, exp, log, sin, cos, und Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen solcher Funktionen.
Wir wünschen Euch frohe Weihnachtstage und ein erfolgreiches neues Jahr.
Aufgabe 3.
(1) Sei f(z) = P∞
k=0akzk eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Bestimme den Konvergenzring derLaurent-Reiheg(z) = P∞
k=−∞a|k|zk. Für den Fall, daß der Konvergenzring nicht leer ist: Welche holomorphe Funktion wird durch g(z) dargestellt?
(2) Bestimme die verschiedenen Laurent-Entwicklungen der rationalen Funk- tion f(z) = z(1−z)(2−z)1 auf den maximalen Konvergenzringen um z0 = 0.
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