Fachbereich Mathematik Mohamed Barakat
Sommersemester 2010 Felix Riemann
5. Übungsblatt zur Vorlesung
„Einführung in die Topologie“
Abgabetermin: Dienstag, 29.06.2010.
Aufgabe 17. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeige: Die Metrik d : X×X → R ist stetig bezüglich der Produkttopologie aufX×X.
Aufgabe 18. (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit) Sei (X, d) ein vollstän- diger metrischer Raum und F ⊂ {f | f : X → R stetig} eine Familie stetiger Funktionen mit supf∈Ff(x) =: Mx < ∞ für alle x ∈ X, d.h. F ist gleichmäßig nach oben beschränkt. Zeige: Es existieren eine nicht leere offene MengeO und eine nichtnegative reelle Zahl M mit f(x)≤M für alle x∈O und alle f ∈F.
Hinweis: Satz von Baire1.
Aufgabe 19. Beweise Bemerkung 6.6 Teil
(b) X zusammenziehbar =⇒ X wegzusammenhängend.
(c) Jede stetige Abbildung in einen kontrahierbaren Raum ist nullhomotop.
Aufgabe 20. Zeige, daß die Räume (1) S1,
(2) ([−1,1]×[−1,1])\ {(0,0)}, (3) ((−1,1)×[−1,1])\ {(0,0)}, (4) und {x∈R2 | 12 ≤ ||x||<1}
homotopieäquivalent sind.
1Eine weitere interessante Anwendung des Satzes vonBaireist folgende Aussage: Die Menge G aller nirgends differenzierbaren reellwertigen Funktion auf [0,1] ist eine dichte Teilmenge des metrischen RaumesX :=C([0,1],R)aller stetigen Funktionenf : [0,1]→R, ausgestattet mit der Maximumsmetrikd∞(f, g) := maxx∈[0,1](f(x)−g(x)). Genauer, das Komplement vonGist sogar mager, d.h. eine abzählbare Vereinigung von nirgends dichten Teilmengen vonX.
1
