¨Ubungsblatt Aufgabe 1: (4 Punkte) Zeigen Sie, dass die in der Vorlesung verwendete Finite Differenz D2u(¯x

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

DAVIDKERKMANN

29. OKTOBER2020

1 2 3 Σ

NAME: MAT-NR.:

Numerik II – 1. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1: (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass die in der Vorlesung verwendete Finite Differenz

D²u(¯x) := u(¯x−h)−2u(¯x) +u(¯x+h) h²

eine Approximation zweiter Ordnung an die zweite Ableitung von uist, d. h.u⁰⁰(¯x)−D²u(¯x) =O(h²) f¨urh→0.

Untersuchen Sie ebenso die Ordnung der zwei f¨ur die Neumann Randbedingungen eingef¨uhrten Finiten Differenzen.

Aufgabe 2: (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass die in Kapitel 1.5 angegebene Koeffizientenmatrix des periodischen Randwertproblems die Eigenwerte

λp = 2

h² (cos(2πph)−1) und zugeh¨orige Eigenvektoren mit j-tem Eintrag

u^p_j =e^i2πpjh f¨urj, p= 1, . . . , m+ 1 besitzt.

Wie sieht der betragskleinste Eigenwert aus? Was l¨asst sich ¨uber die eindeutige L¨osbarkeit des Glei- chungssystems sagen?

Aufgabe 3: Programmieraufgabe (4 Punkte)

Implementieren Sie einen L¨oser f¨ur das eindimensionale Randwertproblem mit Dirichlet Randbedin- gungen. Ihr Programm soll eine beliebige rechte Seitef, die Anzahl der zu verwendenen Gitterpunkte sowie die Randdaten ¨ubergeben bekommen. Daraus soll das Gleichungssystem aufgestellt werden und gel¨ost werden. Sie d¨urfen dazu einen L¨oser von Python verwenden, wie z. B. numpy.linalg.solve.

Erweitern Sie ihr Programm, sodass auch eine Neumann Randbedingung verwendet werden kann.

Dazu k¨onnen Sie weitere Parameter ¨ubergeben, die dem L¨oser sagen, welche Randbedingung jeweils am linken und rechten Rand verwendet wird. Sie d¨urfen sich aussuchen, welchen Ansatz Sie zur Umsetzung der Neumann Randbedingung verwenden wollen.

Implementieren Sie außerdem eine Funktion, die ihre L¨osung an ausgew¨ahlten Gitterpunkten plottet.

Testen Sie Ihr Programm f¨ur ein selbstgew¨ahltes Beispiel. Die exakte L¨osung des Randwertproblems soll dabei bestimmbar sein. Zeichnen Sie dann Ihre L¨osung und die exakte L¨osung f¨ur verschieden große Gitter in einen gemeinsamen Plot.

Abgabe bis 5. November 2020, 14:30 Uhr im ILIAS.

Besprechung in den ¨Ubungsgruppen ab dem 9. November 2020.