MATHEMATISCHESINSTITUT
PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL
ERIKCHUDZIK
SINADAHM
DAVIDKERKMANN
DR. ELENAKLIMENKO
23. APRIL2020
Numerik I – 1. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 1: (5 Punkte)
(a) Geben Sie f¨ur die folgenden Dezimalzahlen die bin¨are Gleitkommadarstellung an. Gehen Sie dabei von einer vierstelligen Mantisse, d.h. 4 Nachkommastellen, und vier Stellen im Exponenten aus mit Bias 24−1−1 = 7. Geben Sie den relativen Fehler an, falls gerundet werden muss.
(i) 88 (ii) 0,2 (iii) −0,6875
(b) Geben Sie f¨ura= 4/5 undb= 5/6 die bin¨are Gleitkommadarstellung mit drei- und f¨unfstelliger Mantisse an und berechnen Sie jeweils die Differenzb−a.
Aufgabe 2: (3 Punkte)
Im Folgenden wird die Landau Symbolik zur Aufwandsabsch¨atzung numerischer Algorithmen verwen- det. Die betrachteten Algorithmen h¨angen von der Problemgr¨oße n ab. Beispielsweise ist ndie Zahl der zu sortierenden Objekte in einer Liste. Die Laufzeit der Algorithmen ist durch die Abbildung f :N→R+ mitf(n) =an gegeben. Zeigen Sie:
(a) f¨urf(n) = 2n2+ 3n+ 4 ist f(n) =O(n2),n→ ∞, (b) f¨urf(n) = sin(n2) istf(n) =O(n), n→ ∞,
(c) f¨urf(n) = n2
ln(n) istf(n) =O(n2), n→ ∞.
Aufgabe 3: (4 Punkte)
(a) Seien f, g, g1, g2 :I → R, wobei I ⊂R ein Intervall mit 0∈I ist und sei x→ 0. Zeigen Sie die folgenden Rechenregeln f¨ur die Landausymbole:
(i) f =o(g)⇒f =O(g),
(ii) f =O(g), a∈R⇒af =O(g),
(iii) f1 =O(g1),f2 =O(g2) ⇒f1·f2=O(g1·g2).
(b) Sei u:R→R, u∈C∞(R). Bestimmen Sie allep∈N, sodass u0(x) = 3u(x)−4u(x−h) +u(x−2h)
2h +O(hp), h→0.
Aufgabe 4: Programmieraufgabe(4 Punkte)
(a) Seien A das numerische Gleitkommagitter und x, y, z ∈ A. Verifizieren Sie anhand geeigneter Beispiele
(i) (x⊕y)⊕z6=x⊕(y⊕z) (ii) (x⊕y)z6= (xz)⊕(yz)
(b) Seien mi = 1 +f12−1+f22−2+. . .+fi2−i,i∈N0 mitfk∈ {0,1},k= 1, . . . , iund e∈ {0,1,2}.
Sei ferner Ai die Menge aller in der Form x=±mi2±e darstellbaren reellen Zahlen.
Stellen Sie Ai∪ {0}, i= 1, . . . ,3 sowie die zugeh¨origen Maschinengenauigkeiten in einem Plot grafisch dar.
Abgabe am 30. April 2020 bis 16 Uhr.
Besprechung in den ¨Ubungen ab 4. Mai 2020.
