folien mathematik I VL 5

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Mathematik I

Vorlesung im Bachelorstudium BAU, EIT, LRT

Prof. Dr. Matthias Gerdts

Institut f ür Angewandte Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Fakult ät f ür Luft- und Raumfahrttechnik

Universit ¨at der Bundeswehr M ¨unchen (UniBw M) matthias.gerdts@unibw.de http://www.unibw.de/ingmathe

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Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts

Komplexe Zahlen

Inhalt und Ziele der Lehreinheit:

I Einf ¨uhrung komplexer Zahlen

I Darstellung in Polarkoordinaten

I Rechenregeln

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Komplexe Zahlen

Wozu?

Menge der reellen Zahlen ist zu klein, um z.B. die Gleichung x2+1 = 0

über R l ösen zu k önnen Gleichung besitzt keine reelle L ösung

Warum m öchte man solche Gleichungen überhaupt l ösen?

I treten bei der Bestimmung vonEigenwertenauf

I Eigenwerte sind wichtig, um dieStabilit ¨at von technischen Systemenbeurteilen zu k ¨onnen

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Komplexe Zahlen

Wozu?

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Komplexe Zahlen

Wozu?

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Komplexe Zahlen

Wozu?

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Komplexe Zahlen

Wozu?

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Komplexe Zahlen

Wozu?

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Komplexe Zahlen

L ¨osung:

I F ¨uhre neue “Zahl” mit Symbol i ein, welche als L ¨osung von x2_{= −1 definiert} wird.

Definition (die imagin ¨are Zahl i)

Dieimagin äre Zahli ist definiert als L ösung der Gleichung x2_{= −1, d.h. sie erf üllt} i2_{= −1.}

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Komplexe Zahlen

Definition (komplexe Zahlen)

Diekomplexen Zahlensind definiert als die Menge C := {a + ib | a ∈ R, b ∈ R}.

F ¨ur eine komplexe Zahl z = a + ib heißt a derRealteil von zund b derImagin ¨arteil von z. Wir schreiben Re(z) = a und Im(z) = b.

Mit z := a − ib wird diekonjugiert komplexe Zahl von z = a + ibbezeichnet. Komplexe Zahlen der Form ib mit b ∈ R heißenimagin ¨are Zahlen.

Beachte:

I _{Es gilt R ( C, da die komplexen Zahlen mit Imagin ¨arteil gleich Null gerade die}

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Komplexe Zahlen

Definition (komplexe Zahlen)

Beachte:

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Komplexe Zahlen

Definition (komplexe Zahlen)

Mit z := a − ib wird diekonjugiert komplexe Zahl von z = a + ibbezeichnet.

Komplexe Zahlen der Form ib mit b ∈ R heißenimagin ¨are Zahlen. Beachte:

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Komplexe Zahlen

Definition (komplexe Zahlen)

Beachte:

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Komplexe Zahlen

Definition (komplexe Zahlen)

Beachte:

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Komplexe Zahlen – Gaußsche Zahlenebene

Im

Re

−ib

ib

a

z = a + ib ¯ z = a − ib

Interpretation einer komplexen Zahl als Vektor!

L ¨ange: |z| =pa2₊_b2

Zwischen komplexen Zahlen

gibt es keine Ordnungsrelatio-nen (“<” oder “>”).

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Komplexe Zahlen – Gaußsche Zahlenebene

Im

Re

−ib

ib

a

z = a + ib ¯ z = a − ib Interpretation einer komplexen

Zahl als Vektor! L ¨ange: |z| =pa2₊_b2

Zwischen komplexen Zahlen

gibt es keine Ordnungsrelatio-nen (“<” oder “>”).

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Komplexe Zahlen – Rechenregeln

(i) Seien z1=a1+ib1und z2=a2+ib2komplexe Zahlen.

Summe:

z1+z2= (a1+ib1) + (a2+ib2) = (a1+a2) +i(b1+b2)

(geometrische Interpretation:Vektoraddition)

(ii) Seien z = a + ib und c ∈ R. Multiplikation mit Skalar c:

c · z = c · (a + ib) = (c · a) + i(c · b) (iii) Seien z1=a1+ib1und z2=a2+ib2komplexe Zahlen.

Produkt zweier komplexer Zahlen:

z1· z2 = (a1+ib1) · (a2+ib2)

= a1· (a2+ib2) + (ib1) · (a2+ib2)

= a1a2+ia1b2+ib1a2+i2b1b2

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Komplexe Zahlen – Rechenregeln

Summe:

z1+z2= (a1+ib1) + (a2+ib2) = (a1+a2) +i(b1+b2)

(geometrische Interpretation:Vektoraddition) (ii) Seien z = a + ib und c ∈ R.

Multiplikation mit Skalar c:

c · z = c · (a + ib) = (c · a) + i(c · b)

(iii) Seien z1=a1+ib1und z2=a2+ib2komplexe Zahlen.

z1· z2 = (a1+ib1) · (a2+ib2)

= a1· (a2+ib2) + (ib1) · (a2+ib2)

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Komplexe Zahlen – Rechenregeln

Summe:

z1+z2= (a1+ib1) + (a2+ib2) = (a1+a2) +i(b1+b2)

(geometrische Interpretation:Vektoraddition) (ii) Seien z = a + ib und c ∈ R.

Multiplikation mit Skalar c:

c · z = c · (a + ib) = (c · a) + i(c · b) (iii) Seien z1=a1+ib1und z2=a2+ib2komplexe Zahlen.

z1· z2 = (a1+ib1) · (a2+ib2)

= a1· (a2+ib2) + (ib1) · (a2+ib2)

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Komplexe Zahlen – Rechenregeln

I Sei z = a + ib. Dann gilt nach (iii)

z · z = (a + ib) · (a − ib) = a2+b2= |z|2

I Seien z1=a1+ib1und z2=a2+ib2komplexe Zahlen mit z26= 0.

Division zweier komplexer Zahlen:

z1 z2 = a1+ib1 a2+ib2 = a1+ib1 a2+ib2 · a2− ib2 a2− ib2

= (a1a2+b1b2) +i(b1a2− a1b2)

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Komplexe Zahlen – Rechenregeln

I Sei z = a + ib. Dann gilt nach (iii)

z · z = (a + ib) · (a − ib) = a2+b2= |z|2

I Seien z1=a1+ib1und z2=a2+ib2komplexe Zahlen mit z26= 0.

Division zweier komplexer Zahlen:

z1 z2 = a1+ib1 a2+ib2 = a1+ib1 a2+ib2 · a2− ib2 a2− ib2

= (a1a2+b1b2) +i(b1a2− a1b2)

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Aufgabe

Weise nach, dass die Regeln A1-A4, M1-M4 und D aus dem Abschnitt ¨uber reelle Zahlen auch f ¨ur komplexe Zahlen gelten.

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Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten

Beschreibe z = a + ib durch I L ¨ange|z| I Winkelϕ ∈ [0, 2π) Es gilt a = |z| cos ϕ, b = |z| sin ϕ =⇒ z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) Im Re z ϕ |z| |z| |z| cos ϕ sin ϕ

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Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten

Beschreibe z = a + ib durch I L ¨ange|z| I Winkelϕ ∈ [0, 2π) Es gilt a = |z| cos ϕ, b = |z| sin ϕ =⇒ z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) Im Re z ϕ |z| |z| |z| cos ϕ sin ϕ

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Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten

Satz (Polarkoordinatendarstellung)

Jede komplexe Zahl z = a + ib l ¨asst sich inPolarkoordinatenform

z = r (cos ϕ + i sin ϕ) mit r ≥ 0 und ϕ ∈ [0, 2π) darstellen.

F ¨ur z 6= 0 ist die Darstellungeindeutig.

Definition

Der Winkel ϕ in der Polarkoordinatendarstellung von z heißtArgument von z, in Zeichen: ϕ = Arg(z).

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Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten

Berechnung des Arguments von z = a + ib:

tan ϕ = b

a =⇒ ϕ = arctan

b a Ber ¨ucksichtige a = 0 und Quadranten, in dem z liegt:

ϕ =                  arctanb_a, f ür a > 0, b ≥ 0 π 2, f ür a = 0, b > 0 π + arctanb_a, f ür a < 0 3π 2, f ür a = 0, b < 0 2π + arctanb_a, f ür a > 0, b < 0

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Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten

Beispiel

Die Zahl ib, b > 0, lautet in Polarkoordinatendarstellung ib = b · (cosπ

2 +i sin π 2). Die Zahl −1 − i lautet in Polarkoordinatendarstellung

−1 − i =√2 · (cos5π

4 +i sin 5π

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Komplexe Zahlen – komplexe Exponentialfunktion

Komplexe Exponentialfunktion:

exp(z) = exp(a + ib) := ea+ib := exp(a) (cos b + i sin b) (z = a + ib ∈ C)

Speziell:

exp(iϕ) = cos ϕ + i sin ϕ

Darstellung von z = a + ib:

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Komplexe Zahlen – komplexe Exponentialfunktion

Multiplikation komplexer Zahlen z1und z2als Drehstreckung:

I z1= |z1| exp(iϕ1) I z2= |z2| exp(iϕ2) I z1· z2= |z1| · |z2| · exp(i(ϕ1+ ϕ2)) Re Im z1 z2 |z1| |z2| ϕ1 ϕ2 z1· z2 |z1| · |z2| ϕ1+ ϕ2

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Komplexe Zahlen – komplexe Exponentialfunktion

Satz (Euler-Moivre Formel)

Sei z = r (cos ϕ + i sin ϕ) gegeben. Dann gilt

zn₌_rn_{(cos(nϕ) + i sin(nϕ))} f ¨ur n ∈ N.

(31)

Komplexe Zahlen – komplexe Exponentialfunktion

Die Euler-Moivre Formel ist n ¨utzlich, um Additionstheoreme f ¨ur Sinus und Cosinus zu gewinnen.

Beispiel

Aus z = cos ϕ + i sin ϕ ergibt sich durch Ausmultiplizieren

z2= (cos ϕ +i sin ϕ)2= (cos2ϕ − sin2ϕ) +i(2 sin ϕ cos ϕ). Die Euler-Moivre Formel liefert

z2= cos(2ϕ) + i sin(2ϕ). Vergleich von Real- und Imagin ¨arteil liefert

cos(2ϕ) = cos2ϕ − sin2ϕ,

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Polynomnullstellen: ax2₊_{bx + c = 0} _{mit a 6= 0} Mitternachtsformel: x1,2= −b ±pb2_{− 4ac} 2a Auch f ¨ur b2_{− 4ac < 0 verwendbar!}

(33)

Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Polynomnullstellen: ax2₊_{bx + c = 0} _{mit a 6= 0} Mitternachtsformel: x1,2= −b ±pb2_{− 4ac} 2a

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Polynomnullstellen: ax2₊_{bx + c = 0} _{mit a 6= 0} Mitternachtsformel: x1,2= −b ±pb2_{− 4ac} 2a Auch f ¨ur b2_{− 4ac < 0 verwendbar!}

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Beispiel

F ¨ur

x2− 4x + 5 = 0

liefert die Formel die Nullstellen x1,2= 4 ±√16 − 20 2 =2 ± 1 2 p −4 = 2 ±p−1 = 2 ± i.

Damit besitzt die Gleichung die beidenkomplexen Nullstellen

2 + i und 2 − i

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Satz

Jedes quadratische Polynom ax2₊_{bx + c mit Koeffizienten a, b, c ∈ R, a 6= 0, hat}

genau zwei Nullstellenx1,x2∈ C, die eventuell zusammenfallen. Es gilt

ax2+bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Allgemein:

Satz (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes Polynom vom Grad n

pn(x ) = anxn+an−1xn−1+ . . . +a1x + a0

mit aj ∈ C, j = 0, 1, . . . , n, an6= 0, besitzt ¨uber Cgenau n Nullstellenx1, . . . ,xn (mehrfache Nullstellen werden nach ihrer Vielfachheit gez ¨ahlt) und es gilt

pn(x ) = an(x − x1) · · · (x − xn) =an n Y

j=1 (x − xj).

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Satz

Jedes quadratische Polynom ax2₊_{bx + c mit Koeffizienten a, b, c ∈ R, a 6= 0, hat}

genau zwei Nullstellenx1,x2∈ C, die eventuell zusammenfallen. Es gilt

ax2+bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Allgemein:

Satz (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes Polynom vom Grad n

pn(x ) = anxn+an−1xn−1+ . . . +a1x + a0

mit aj ∈ C, j = 0, 1, . . . , n, an6= 0, besitzt ¨uber Cgenau n Nullstellenx1, . . . ,xn (mehrfache Nullstellen werden nach ihrer Vielfachheit gez ¨ahlt) und es gilt

pn(x ) = an(x − x1) · · · (x − xn) =an n Y

j=1 (x − xj).

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Beispiel (Berechnung der Nullstellen von z

n

_{− w = 0)}

Sei w = `(cos α + i sin α) und n ∈ N.

Fundamentalsatz der Algebra=⇒n Nullstellen

zk =rk(cos ϕk+i sin ϕk), k = 0, . . . , n − 1 Euler-Moivre Formel=⇒ zkn=rkn(cos(nϕk) +i sin(nϕk)) und |zn k| = r n k = |w | = ` =⇒ rk = n √ `, k = 0, . . . , n − 1

Vergleich der Real- und Imagin ¨arteile von zn k und w :

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Beispiel (Berechnung der Nullstellen von z

n

_{− w = 0)}

zk =rk(cos ϕk+i sin ϕk), k = 0, . . . , n − 1 Euler-Moivre Formel=⇒ zkn=rkn(cos(nϕk) +i sin(nϕk)) und |zn k| = r n k = |w | = ` =⇒ rk = n √ `, k = 0, . . . , n − 1

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Beispiel (Berechnung der Nullstellen von z

n

_{− w = 0)}

zk =rk(cos ϕk+i sin ϕk), k = 0, . . . , n − 1 Euler-Moivre Formel=⇒ zkn=rkn(cos(nϕk) +i sin(nϕk)) und |zkn| = r n k = |w | = ` =⇒ rk = n √ `, k = 0, . . . , n − 1

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Beispiel (Berechnung der Nullstellen von z

n

_{− w = 0)}

zk =rk(cos ϕk+i sin ϕk), k = 0, . . . , n − 1 Euler-Moivre Formel=⇒ zkn=rkn(cos(nϕk) +i sin(nϕk)) und |zkn| = r n k = |w | = ` =⇒ rk = n √ `, k = 0, . . . , n − 1

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Beispiel (Berechnung der Nullstellen von z

n

_{− w = 0)}

Es folgt mit j ∈ Z, α +2πj = nϕk bzw. ϕk = α +2πj n W ¨ahle speziell j = k = 0, 1, . . . , n − 1: ϕk = α +2πk n , k = 0, 1, . . . , n − 1. n Nullstellen von zn_{− w = 0:} zk = n √ ` cos α + 2πk n +i sin α + 2πk n , k = 0, 1, . . . , n − 1.

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Beispiel (Berechnung der Nullstellen von z

n

_{− w = 0)}

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

Beispiel (Berechnung der Nullstellen von z

n

_{− w = 0)}

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Komplexe Zahlen – Polynomnullstellen

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Komplexe Zahlen – Zusammenhang

Es gelten folgende Mengenrelationen:

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Komplexe Zahlen

Zusammenfassung:

I Sie k ¨onnen mit komplexen Zahlen rechnen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division).

I Sie kennen verschiedene Darstellungsm ¨oglichkeiten komplexer Zahlen (als Vektor in Gauss’scher Zahlenebene/in Polarkoordinaten).

I Sie k ¨onnen Nullstellen von quadratischen Funktionen ausrechnen (Mitternachtsformel).

I _{Sie wissen, dass ein Polynom n-ten Grades immer genau n Nullstellen ¨uber C}

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Thanks for your Attention!

Questions?

Further information:

matthias.gerdts@unibw.de www.unibw.de/ingmathe