Übungsaufgaben 1
Reelle Zahlen
Aufgabe 1. Man beweise, daß die Beziehung
n
X
kD1
1
k.kC1/ D n
nC1
für jedesn2N gilt! ±
Aufgabe 2. SeiKein geordneter Körper undn2 N. Seien fernerbeliebigeElemente y1; : : : ; yn2KsowiegeordneteElementex1; : : : ; xn 2Kderart vorgegeben, daß
xk x` für allek,` 2 f1; : : : ; ngmitk`
gilt. Istf W f1; : : : ; ng ! f1; : : : ; ngirgendeine bijektive Abbildung, die die Ordnung yf .k/ yf .`/ für allek,`2 f1; : : : ; ngmitk `
herstellt, so zeige man, daß dann stets die Ungleichung
n
X
kD1
xkyk
n
X
kD1
xkyf .k/
erfüllt ist! ³
Aufgabe 3. Man weise nach, daß in einem KörperKstets die Identität
n
Y
kD1
xk n
Y
kD1
yk D
n
X
`D1 nC1
Y
kD`C1
xk
!
.x` y`/
` 1
Y
kD0
yk
!
für alle n 2 N, x1; : : : ; xn 2 K sowie y1; : : : ; yn 2 K gilt, wenn die Voraussetzung
y0DxnC1 D1erfüllt ist! ±
