Merkblatt 3
Der reelle Vektorraum
In Ω seien Addition und Vielfachbildung mit reellen Zahlen erkl¨art, die folgende Eigenschaften haben:
Grundgesetze der Addition:
A 1: zu beliebigemx, y∈Ω existiert eindeutigx+y∈Ω A 2: ∀x, y∈Ω :x+y=y+x (Kommutativgesetz)
A 3: ∀x, y, z∈Ω :x+ (y+z) = (x+y) +z (Assoziativgesetz) A 4: ∃0∈Ω :x+ 0 =x ∀x∈Ω (Nullelement)
A 5: ∀x∈Ω∃y∈Ω mitx+y= 0 (Entgegengesetztes Element)
Grundgesetze der Vielfachbildung
V 1: zu beliebigemλ∈IR, x∈Ω existiert eindeutigλx∈Ω V 2: zu beliebigemλ, µ∈IR, x∈Ω gilt: λ(µx) = (λµ)x V 3: F¨ur allex∈Ω gilt: 1x=x.
Distributivgesetze
D 1: ∀λ∈IR, x, y∈Ω giltλ(x+y) =λx+λy D 2: ∀λ, µ∈IR, x∈Ω gilt (λ+µ)x=λx+µx
Eine MengeΩ, die zuammen mit den Verkn¨upfungen+und derVielfachbildung den Axiomen A1-A4, V1-V3, D1 und D2 gen¨ugt heißtreeller Vektorraum.
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