Elementare reelle Funktionen

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Vorlesung 12

Elementare reelle Funktionen

Reelle Exponentialfunktion. 1. Definiert man für jedesx2 Rundn2N[ f0gdie FunktionenWR!Rdurch die Teilsummeen.x/DPn

kD0 1

kŠx^k, dann nennt man die Potenzreihe.en/diereelle Exponentialreihe. Aufgrund des Quotientenkriteriums

klim!1

kŠ

.kC1/Š D lim

k!1

1

kC1 D0

konvergiert die reelle Exponentialreihe.en/aufRgegen eine ganze analytische Grenz- funktion expWR!R, die durch die Summe

exp.x/D

1

X

kD0

x^k

kŠ fürx 2R definiert und alsreelle Exponentialfunktionbezeichnet wird.

2. Die reelle Zahl eDexp.1/DP1 kD0

1

kŠ wirdEuler-Zahlgenannt.

3. Da die summandenweise differenzierte Potenzreihe.Den/wieder mit der Potenz- reihe.en/übereinstimmt, giltD^kexpDexp für allek 2N [ f0g.

Additionstheorem der Exponentialfunktion. Für allex,y 2 Rundk 2 N [ f0g liefert die binomische Formel die Cauchy-Produkte

k

X

`D0

x^`

`Š y^{k `}

.k `/Š D 1 kŠ

k

X

`D0

k

`

x^`y^{k `}D .xCy/^k kŠ :

Durch Multiplikation von Exponentialreihen folgt daraus das Additionstheorem exp.xCy/Dexp.x/exp.y/ für allex,y 2R:

Nullstellenfreiheit der Exponentialfunktion. Die reelle Exponentialfunktion be- sitztkeineNullstellen, denn es gilt exp.x/exp. x/Dexp.0/D1für allex2 R.

Strenge Monotonie der reellen Exponentialfunktion. Es gelten die Relationen 1. Für allex 2Rmitx 0gilt exp.x/1Cx 1.

2. Für allex 2Rmitx 0gilt exp. x/1 x 1, also0 <exp.x/ _{1 x}¹ 1.

3. Fürx 2Rgilt genau dann exp.x/D1, wennx D0ist.

4. Für allex,y 2Rmitx < ygilt exp.x/Dexp.y/exp.x y/ <exp.y/.

5. Es gelten limx!1exp.x/D 1sowie limx! 1exp.x/D0.

6. Die reelle Exponentialfunktion expWR!0;1Œist bijektiv.

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2

0 1

1 exp

ln

Reelle Logarithmusfunktion. 1. Die stetige, bijektive und streng monotone Inverse lnDexp ¹ W0;1Œ!Rvon expW R!0;1Œwird alsreeller Logarithmusbezeich- net. Da für allex 2 Rstets Dexp.x/ D exp.x/ > 0gilt, ist der reelle Logarithmus lnW0;1Œ!Reine differenzierbare Funktion mit der Ableitung

Dln./ D 1

Dexp.x/ D 1

exp.x/ D 1

für jedes Dexp.x/2 0;1Œmitx2 R:

2. Somit ist ln W0;1Œ!Runendlichmal differenzierbar und hat die Ableitungen D^kln./D . 1/^{k 1}.k 1/Š

^k für alle 20;1Œundk2N:

Additionstheorem der Logarithmusfunktion. Seien , 2 0;1Œ beliebig vorge- geben. Dann gilt fürx,y 2Rmit Dexp.x/und Dexp.y/die Beziehung

ln./Dln.exp.x/exp.y// Dln.exp.x Cy//DxCy Dln./Cln./:

Potenzgesetze. 1. Für jedes 2 0;1Œund allexD ^a_b 2Qmita2 Z,b 2N gilt exp.xln.//Dexp ^a_bln./

D p^b

exp.aln.//D exp.ln.//^x D^x:

2. Als Verallgemeinerung definiert man für jedeBasis 2 0;1Œund jedenreellen Exponentenx 2RdiePotenz^x Dexp.xln.//20;1Œ.

3. Wegen ln.e/D1gilt e^x Dexp.xln.e// Dexp.x/für allex2 R.

4. Für alle 20;1Œundx 2Rgilt ln.^x/Dxln./.

5. Für alle 20;1Œundx,y 2 Rgilt^x^C^y D^x^ysowie.^x/^y D^xy D.^y/^x.

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3

Logarithmische Potenzreihe. 1. Die Potenzreihe.sn/um0 2 1;1Œmit den Ko- effizientena0 Dln.1C0/undak D. 1/^{k 1}_k.1_C¹

0/^k fürk2N hat wegen lim

k!1

k.1C0/^k

.kC1/.1C0/^k^C¹ D 1 1C0

lim

k!1

k

kC1 D 1 1C0

den KonvergenzradiusR0 D1C0 > 0und konvergiert somit in 1; 1C20Œgegen eine analytische Grenzfunktions W 1; 1C20Œ!R, welche die Gestalt

s./Dln.1C0/C

1

X

kD1

. 1/^{k 1}

k.1C0/^k . 0/^k für alle 2R,j 0j< R0besitzt:

2. Die summandenweise differenzierte Potenzreihe.Dsn/um0 2 1;1Œmit den Koeffizienten ..k C1/akC1/ hat ebenfalls den Konvergenzradius R0 D 1C0 und konvergiert in 1; 1C20Œgegen die Ableitung Ds W 1; 1C20Œ ! Rder Grenz- funktions W 1; 1C20Œ!R. Für alle 2Rmitj 0j< R0D1C0gilt

Ds./D

1

X

kD0

. 1/^k

.1C0/^k^C¹. 0/^k D 1 1C0

1

X

kD0

0

1C0

^k

D 1 1C aufgrund der Summenformel der geometrischen Reihe.

3. Die durch die Vorschrift f ./ D ln.1C/für 2 1;1Œdefinierte Funktion f W 1;1Œ ! R hat ebenfalls die Ableitung Df ./ D ₁_C¹ für alle 2 1;1Œ.

Aufgrund von Schritt 2 hat die FunktionhDs f für jedesz 2R,jz 0j< R0die AbleitungDh.z/D0. Für jedes 2 R,j 0j< R0liefert der Mittelwertsatz

0 jh./ h.0/j j 0j sup

2Œ0;1

jDh. C.1 /0/j D0:

Daf .0/ Dln.1C0/D a0 D s.0/gilt, ergibt sich schließlichs./ D f ./für alle 2 R,j 0j < R0. Demnach konvergiert die logarithmische Potenzreihe.sn/ um 0 2 1;1Œin 1; 1C20Œgegen die analytische Funktionf W 1;1Œ!R.

(4)

4

Binomische Potenzreihe. 1. Fürx 2Rdefiniert man denBinomialkoeffizienten x

0

D1;

x k

D

k

Y

`D1

x `C1

` 2R fürk 2N:

Man beachte, daß im Fallex2 N[ f0gstets ^x_k

D0für allek 2N mitk > xgilt.

2. Sei als Exponentx 2Rn.N[f0g/gegeben. Die Potenzreihe.sn/um0 2 1;1Œ mit den Koeffizientenak D ^x_k

.1C0/^{x k}fürk2N [ f0ghat wegen

klim!1

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

.1C0/^k .1C0/^k^C¹

kC1

Y

`D1

x `C1

`

k

Y

`D1

` x `C1

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

D 1 1C0

klim!1

ˇ ˇ ˇ ˇ

x k kC1 ˇ ˇ ˇ

ˇD 1 1C0

den KonvergenzradiusR0 D1C0 > 0und konvergiert somit in 1; 1C20Œgegen eine analytische Grenzfunktions W 1; 1C20Œ!R, welche die Gestalt

s./ D

1

X

kD0

x k

.1C0/^{x k}. 0/^k für alle 2 R,j 0j< R0besitzt:

3. Die summandenweise differenzierte Potenzreihe.Dsn/um0 2 1;1Œmit den Koeffizienten..kC1/akC1/hat den KonvergenzradiusR0 D 1C0und konvergiert in 1; 1C20Œgegen die AbleitungDs W 1; 1C20Œ!R, das heißt, es gilt

Ds./D

1

X

kD0

.kC1/

x kC1

.1C0/^{x k 1}. 0/^k für alle 2 1; 1C20Œ und somit wegen1C D.1C0/C. 0/und.kC1/ _k_C^x₁

D.x k/ ^x_k auch .1C/Ds./D

1

X

kD0

.x k/

x k

.1C0/^{x k}. 0/^kC

1

X

kD1

k x

k

.1C0/^{x k}. 0/^k

D

1

X

kD0

x x

k

.1C0/^{x k}. 0/^k Dxs./:

4. Die für den Exponentenx 2Rdurchbx./D.1C/^x Dexp.xln.1C//für alle 2 1;1Œdefiniertereelle Potenzfunktionbx W 1;1Œ !Rbesitzt die Ableitung

Dbx./ Dexp.xln.1C// x

1C Dx.1C/^{x 1} für alle 2 1;1Œ:

Damit ist die Funktiong Dsb x W 1; 1C20Œ !Rdifferenzierbar, und es gilt Dg./D.1C/ ^xDs./ xs./.1C/ ^{x 1}D0 für alle 2R,j 0j< R0

wegen.1C/Ds./Dxs./. Für jedes 2R,j 0j< R0liefert der Mittelwertsatz 0 jg./ g.0/j j 0jsup₂_Œ0;1jDg. C.1 /0/j D0:

Wegeng.0/ D s.0/.1C0/ ^x D 1folgt darauss./ D bx./g./ D bx./ für alle 2R,j 0j< R0. Demnach konvergiert diebinomische Potenzreihe.sn/fürx2 R um0 2 1;1Œin 1; 1C20Œgegen die analytische Funktionbx W 1;1Œ!R.