Die komplexe Exponentialfunktion hatkeineNullstellen, denn es gilt Exp.x/Exp

Komplexe Exponentialfunktion. 1. Definiert man für jedesx 2Cundn2 N[f0g die FunktionEn W C ! Cdurch die TeilsummeEn.x/ DPn

kD0 1

kŠx^k, so bezeichnet man die Potenzreihe .En/ als komplexe Exponentialreihe. Aufgrund der Beziehung limk!1 kŠ

.kC1/Š D limk!1 1

kC1 D 0konvergiert die komplexe Exponentialreihe .En/ inCgegen eine analytische Grenzfunktion ExpWC !C, die durch

Exp.x/D

1

X

kD0

x^k

kŠ fürx 2C definiert undkomplexe Exponentialfunktiongenannt wird.

2. Da die summandenweise differenzierte Potenzreihe.DEn/wiederum mit der Po- tenzreihe.En/übereinstimmt, giltD^kExpDExp für allek2 N[ f0g.

Additionstheorem der Exponentialfunktion. Für allex,y 2 Cundk 2 N [ f0g liefert die binomische Formel die Cauchy-Produkte

k

X

`D0

x^`

`Š y<sup>k `</sup>

.k `/Š D 1 kŠ

k

X

`D0

k

`

x^my^{k `} D .x Cy/^k kŠ :

Durch Multiplikation von Exponentialreihen erhält man das Additionstheorem Exp.x Cy/DExp.x/Exp.y/ für allex,y 2C:

Nullstellenfreiheit der Exponentialfunktion. Die komplexe Exponentialfunktion hatkeineNullstellen, denn es gilt Exp.x/Exp. x/DExp.0/D1für allex 2C.

Periodizität der Exponentialfunktion. 1. Für alle˛,ˇ 2Rfolgt aus

1

X

`D0

1

`Š.˛; 0/<sup>`</sup> D

1

X

kD0

1 kŠ˛^k; 0

!

D.exp.˛/; 0/;

1

X

`D0

1

`Š.0; ˇ/<sup>`</sup> D

1

X

kD0

. 1/^k .2k/Š ˇ^2k;

1

X

kD0

. 1/^k

.2kC1/Šˇ^2kC1

!

D.cosˇ;sinˇ/;

durch Multiplikation die Darstellung der Exponentialfunktion

Exp.x/Dexp.˛/.cosˇ;sinˇ/ für allexD.˛; ˇ/2C:

2. Für allex D.˛; ˇ/2 CgiltjExp.x/j Dexp.˛/ > 0.

3. Fürx D.˛; ˇ/2Cgilt genau dannjExp.x/j D1, wenn˛ D0ist.

4. Es gilt˚

x2 CjExp.x/D1 D˚

2ki jk 2Z . 5. Es gilt˚

x2 CjExp.xCy/DExp.y/für jedesy 2C D˚

2ki jk2 Z .

0

i i

Exp

Wertebereich der Exponentialfunktion. Wirdw 2Cnf0gdurch Polarkoordinaten r 2 R,r > 0sowieˇ 2Rin der Formw D.rcosˇ; rsinˇ/dargestellt, dann besteht die Menge aller Lösungenx 2Cder Gleichung Exp.x/Dw aus den Zahlen

xk D.ln.r/; ˇC2k/2C fürk2Z:

Somit hat die komplexe Exponentialfunktion den WertebereichCn f0g.

Logarithmische Potenzreihe. 1. Die logarithmische Potenzreihe .sn/ um w0 D 0 mit den Koeffizienten a0 D 0 und ak D . 1/^{k 1 1}_k für k 2 N konvergiert wegen limk!1 k

kC1 D 1inE D ˚

w 2 C j jwj < 1 gegen eine analytische Grenzfunktion LWE!C, die durch die Summe

L.w/D

1

X

kD1

. 1/^{k 1}

k w^k für allew2 Egegeben ist:

2. Die summandenweise differenzierte Potenzreihe.Dsn/umw0 D 0mit den Ko- effizienten ..k C 1/akC1/ konvergiert in E gegen die Ableitung DL W E ! C der GrenzfunktionLWE!C, welche die Gestalt

DL.w/D

1

X

kD0

. 1/^kw^k D

1

X

kD0

. w/^k D 1

1Cw für allew 2Ebesitzt:

x 0

D1;

x k

D

k

Y

`D1

x `C1

` 2C fürk2 N:

Dabei ergibt sich fürk 2N erneut die bekannte Beziehung x

k 1

C x

k

D

k 1

Y

`D1

x `C1

` C

k

Y

`D1

x `C1

` D kC.x kC1/

k

k 1

Y

`D1

x `C1

`

D xC1 k

k 1

Y

`D1

x `C1

` D

k

Y

`D1

xC1 `C1

` D

xC1 k

2 C:

Man beachte, daß im Fallex2 N[ f0gstets ^x_k

D0für allek 2N mitk > xgilt.

2. Sei der Exponentx 2Cvorgegeben. Diebinomische Potenzreihe.sn/umw0 D0 mit den Koeffizientenak D ^x_k

2Cfürk 2N [ f0gkonvergiert wegen

klim!1

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

kC1

Y

`D1

x `C1

`

k

Y

`D1

` x `C1

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

D lim

k!1

ˇ ˇ ˇ ˇ

x k kC1 ˇ ˇ ˇ ˇD1

inED fw 2Cj jwj < 1ggegen eine analytische GrenzfunktionBx WE!C, wobei Bx.w/D

1

X

kD0

x k

w^k für allew 2Eundx 2Cgilt:

Wegen ^xC_k¹

D _{k 1}^x C ^x_k

folgt daraus für allew 2Eundx 2Cdie Beziehung BxC1.w/D

1

X

kD0

xC1 k

w^k Dw

1

X

kD1

x k 1

w^{k 1}C

1

X

kD0

x k

w^k D.1Cw/Bx.w/:

3. Die summandenweise differenzierte Potenzreihe.Dsn/umw0 D 0mit den Ko- effizienten..kC1/akC1/konvergiert inEgegen die AbleitungDBx WE!C, wobei

.1Cw/DBx.w/D

1

X

kD0

.kC1/

x kC1

w^k C

1

X

kD0

.kC1/

x kC1

w^kC1

D

1

X

kD0

.x k/

x k

w^k C

1

X

kD0

k x

k

w^k D

1

X

kD0

x x

k

w^k DxBx.w/

für alle w 2 E gilt. Die durch G.w/ D Bx.w/Exp. xL.w//für w 2 E definierte FunktionG WE!Cist differenzierbar, und wegen.1Cw/DBx.w/ DxBx.w/gilt

DG.w/D

DBx.w/ xBx.w/

1Cw

Exp. xL.w//D0 für allew 2 E:

Der Mittelwertsatz liefertjG.w/ G.0/j jwjsup_2Œ0;1jDG. w/j D 0für allew 2E und somit G.w/ D G.0/ D Bx.0/Exp. xL.0// D 1. Daraus folgt schließlich die DarstellungBx.w/ DExp.xL.w//für allew 2Eundx2 C.

Komplexe hyperbolische Funktionen. 1. Die beiden Potenzreihen.Cn/ und.Sn/ von FunktionenCn W C ! C undSn W C ! C, die durch die beiden Teilsummen Cn.x/ D Pn

kD0 1

.2k/Šx^2k undSn.x/ D Pn kD0

1

.2kC1/Šx^2kC1 fürx 2 C,n 2 N [ f0g definiert werden, heißenkomplexe hyperbolische Cosinus-bzw.Sinusreihe.

Da für jedesx 2Cdie Reihen der Absolutbeträge Teilreihen der Exponentialreihe Pn

kD0 1 kŠjxj^k

sind, konvergiert die komplexe hyperbolische Cosinus- bzw. Sinusreihe gegen eine analytische Grenzfunktion CoshWC!Cbzw. SinhWC !C, die durch

Coshx D

1

X

kD0

x^2k

.2k/Š bzw. SinhxD

1

X

kD0

x^2kC1

.2kC1/Š fürx 2C definiert undkomplexe hyperbolische Cosinus-bzw.Sinusfunktiongenannt wird.

2. Die Differentiation beider Reihen liefertDCoshDSinh undDSinhDCosh.

3. Für allex 2Cfolgen aus Exp.x/DCoshxCSinhxsowie Cosh. x/DCoshx und Sinh. x/D Sinh.x/die Beziehungen

Coshx D Exp.x/CExp. x/

2 und Sinhx D Exp.x/ Exp. x/

2 :

Additionstheoreme für hyperbolische Funktionen. Für allex,y 2 Cfolgen aus Exp.˙.xCy//D.CoshxCoshyCSinhxSinhy/˙.SinhxCoshyCSinhyCoshx/

Cosh.x ˙y/DCoshxCoshy˙SinhxSinhy;

Sinh.x ˙y/DSinhxCoshy˙SinhyCoshx:

Nullstellen und Wertebereich der hyperbolischen Funktionen. Es gilt

Coshx D.cosh˛cosˇ;sinh˛sinˇ/ und Sinhx D.sinh˛cosˇ;cosh˛sinˇ/

für allex D.˛; ˇ/2C, woraus sich jeweils die Nullstellenmenge

˚x 2C jCoshx D0 D˚

2 Ck

i jk2Z ;

˚x 2C jSinhx D0 D˚

ki jk 2Z

sowie jeweils der volle WertebereichCfür die Funktion Cosh bzw. Sinh ergibt.

Periodizität der hyperbolischen Funktionen. Es gelten die Beziehungen

˚x2 CjCosh.xCy/DCoshy für jedesy 2C D˚

2ki jk 2Z ;

˚x 2CjSinh.xCy/DSinhy für jedesy 2C D˚

2ki jk 2Z :

0

i i

Cosh

0

i i

Sinh

Komplexe trigonometrische Funktionen. 1. Die Potenzreihen.Cn/und.Sn/von Funktionen Cn W C ! C und Sn W C ! C, welche durch die beiden Teilsummen Cn.x/ D Pn

kD0. 1/^k_.2k/Š¹ x^2k undSn.x/ D Pn

kD0. 1/^k_.2k¹_C1/Šx^2kC1 fürx 2 C und n2N[ f0gdefiniert werden, heißenkomplexe Cosinus-bzw.Sinusreihe.

Da für jedesx 2Cdie Reihen der Absolutbeträge Teilreihen der Exponentialreihe Pn

kD0 1 kŠjxj^k

sind, konvergiert die komplexe Cosinus- bzw. Sinusreihe gegen eine analytische Grenzfunktion CosWC!Cbzw. SinWC!C, die durch

Cosx D

1

X

kD0

. 1/^k

.2k/Š x^2k bzw. SinxD

1

X

kD0

. 1/^k

.2kC1/Šx^2kC1 fürx 2C definiert undkomplexe Cosinus-bzw.Sinusfunktiongenannt wird.

2. Die Differentiation beider Reihen liefertDCosD Sin undDSinDCos.

Euler-Formeln. Durch den Grenzprozeßn! 1in der aufgespaltenen Summe

2nC1

X

`D0

1

`Š.ix/<sup>`</sup> D

n

X

kD0

. 1/^k

.2k/Š x^2k Ci

n

X

kD0

. 1/^k

.2k C1/Šx^2kC1 erhält man für jedesx2 CdieEuler-Formeln

Exp.ix/DCosxCiSinx; Cosx D Exp.ix/CExp. ix/

2 DCosh.ix/;

Exp. ix/DCosx iSinx; Sinx D Exp.ix/ Exp. ix/

2i D iSinh.ix/:

Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen. Für allex,y 2 C folgen aus Exp.˙i.x Cy//D.CosxCosy SinxSiny/˙i.SinxCosyCSinyCosx/

Cos.x ˙y/DCosxCosySinxSiny;

Sin.x ˙y/DSinxCosy˙SinyCosx:

Nullstellen und Wertebereich der trigonometrischen Funktionen. Es gilt Cosx D.cos˛coshˇ; sin˛sinhˇ/ und Sinx D.sin˛coshˇ;cos˛sinhˇ/

für allex D.˛; ˇ/2C, woraus sich jeweils die bekannte Nullstellenmenge

˚x 2CjCosx D0 D˚

2 Ck; 0

jk2 Z ;

˚x 2Cj Sinx D0 D˚

.k; 0/jk 2Z

sowie der volle WertebereichCfür den komplexen Cosinus bzw. Sinus ergibt.

Periodizität der trigonometrischen Funktionen. Es gelten die Beziehungen

˚x2 CjCos.xCy/DCosy für jedesy 2C D˚

.2k; 0/jk 2Z ;

˚x2 CjSin.xCy/DSiny für jedesy 2C D˚

.2k; 0/jk 2Z :