dx exp

9 Übungsblatt Theoretishe Physik V

9.1 (Gauÿ-Integral)

a)

Zuzeigen:

I = Z _∞

−∞

dx exp

− a 2 x ²

= r 2π

a

mit

ℜ (a) > 0

^{.Wirberehnen dasIntegral}

I ²

^:

I ² =

Z _∞

−∞

dx Z _∞

−∞

dy exp

− a 2 x ²

exp

− a 2 y ²

= Z _∞

0

dr Z 2π

0

dϕ r exp

− a 2 r ²

= 2π Z _∞

0

du

ar r exp ( − u)

= 2π a

Daraus folgt alsofür

I = √ I ²

^:

I =

Z _∞

−∞

dx exp

− a 2 x ²

= r 2π

a

b)

Zuzeigen:

I = Z _∞

−∞

dx exp

− a

2 x ² + bx

= r 2π

a exp b ²

2a

mit

ℜ (a) > 0

^und

b ∈ C

.UmformungdesExponentendurh quadratisheErgänzung:

− a

2 x ² + bx = − a

2 x ² + bx + b ² 2a − b ²

2a = − r a

2 x + b

√ 2a 2

+ b ² 2a

Hieraus ergibt sih:

I = exp b ²

2a Z _∞

−∞

dx exp − r a

2 x + b

√ 2a 2 !

= r 2

a exp b ²

2a Z _∞

−∞

du exp − u ²

| {z }

:=J

Wirkönnen nohshnell dasQuadrat desIntegralsausrehnen:

J ² = Z _∞

−∞

dx Z _∞

−∞

dy exp − x ² + y ²

= Z _∞

0

dr Z 2π

0

dϕ r exp − r ²

= 2π Z _∞

0

du

2r r exp − u ²

= π

Somit folgt also

J = √

π

^{undinsgesamt für dasIntegral}

I

^:

I =

r 2π a exp

b ² 2a

)

Es istüberKonturintegration zu zeigen:

Z _∞

−∞

dx exp i a

2 x ²

= s 2π

| a | · ( √

i, a > 0

√ 1

i , a < 0

Die Kontur siehtfolgendermaÿen aus:

− R

R π/4

I

Re R →∞

− R →−∞

und gegen den Uhrzeigersinn läuft und die Beträge gleih sind, somit diese sih also

gegenseitigaufheben.Nun gilt zudem dasCauhy-Theorem:

I

dz f (z) = 0

da wir keine Pole im Integrationsweg existieren. Wir können also unser Integral auf

dieIntegrationüberdengedrehtenWeg zurükführen. Es gilt:

I

dz f (z) = Z _∞

−∞

dx exp i a

2 x ²

+ J = 0 ⇔ − J = Z _∞

−∞

dx exp i a

2 x ²

Wobei

J

^{dasIntegralfürdengedrehtenWegist.Diesesberehnenwirimfolgenden.Es}

gilt

z = x + iy

^{,mit derSteigung}

^π ₄

^folgt

y (x) = x

^undsomit

z ² = x ² (1 + 2i − 1) = 2ix ²

^.

Mitdemneuen Integrationsweg erhalten wiralso:

J =

Z _−∞

∞

dz exp i a

2 z ²

· (1 + i)

= −

Z _∞

−∞

dx exp − ax ²

= −

r 2π a

Hieraus folgtfür daszu bestimmende Integral:

− J = Z _∞

−∞

dx exp i a

2 x ²

= r 2π

a

was niht mit demerwarteten Ergebnisübereinstimmt.

d)

Zuzeigen:

I = Z _∞

−∞

Y N i=1

dx i

!

e ^{− 1 2 x i A ij x j +b i x i} =

√ 2π ^N

√ det A e ^{1 2 b T ·} ( ^{A − 1} ) · b

.

Wirshreibenetwasum:

Y N i=1

dx i

!

= d ^N x.

O ^{− 1} = O ^T

^und

D mn = δ mn λ ⁽ⁿ⁾ ,

wobei

λ ⁽ⁿ⁾

^{die Eigewertevon}

A

sind.

I = Z

d ^N x e ^{− 1 2 x i O im δ mn λ (n) O nj x j +b i x i}

= Z

d ^N x e

− ¹ ₂ x i λ ⁽ⁿ⁾ O _in O _nj

| {z }

= δij

x j +b i x i

= Z

d ^N x e ^{− 1 2 λ (i) x 2 i +b i x i}

= Y N i=1

Z

dx i e ^{− 1 2 λ i x 2 i +b i x i} .

Jetzt gilt eswiederdasQuadrat zu vervollständigen:

− λ i

2 x ² _i + b i x i = − r λ i

2 x i − b i

√ 2λ _i

! 2

+ b ² _i 2λ _i

Substitution

u i = r λ i

2 x i ⇒ dx i = r 2

λ i

du i

I = Y N i=1

r 2 λ i

e

b 2 i 2 λi

Z

du i e ^{− u 2 i}

=

√ 2π ^N

√ det A e ^{1 2 b T · A · b}

e)

9.2 (Einführung in das Pfadintegral)

a) Gegeben:

A [x, j] = A [x] − Z _∞

−∞

dt ^′ j t ^′ x t ^′

x (t) = x ₀ (t) + Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

mit

∂ _t ² x ₀ (t) = − ω ² x ₀ (t)

Zeige:

δ A [x, j]

δx (t) = 0

Zuerstformen wir

A [x]

^{etwasum, wobeiwirwieim folgendenRandtermevon}

x (t)

^und

zeitlihe Ableitungen davon vernahlässigen:

A [x] = 1 2

Z _∞

−∞

dt ^′ x ˙ ² − ω ² x ²

⁽¹⁾

= 1

2 Z _∞

−∞

dt ^′ x ˙ x ˙ − ω ² x ²

p.I.

= 0 − 1 2

Z _∞

−∞

dt ^′ x¨ x + ω ² x ²

= − 1 2

Z _∞

−∞

dt ^′ x t ^′

∂ _t ^{2 ′} + ω ² x t ^′

Damitgestärkt rehnen wirlos:

δ A [x, j]

δx (t) = δ A [x]

δx (t) − Z _∞

−∞

dt ^′ j t ^′ δx (t ^′ ) δx (t)

| {z }

=δ(t − t ^′ )

= δ A [x]

δx (t) − j (t) .

Betrahten wirnur den ersten Term:

δ A [x]

δx (t) = − 1 2

δ δx (t)

Z _∞

−∞

dt ^′ x t ^′

∂ _t ^{2 ′} + ω ² x t ^′

= − 1 2

Z _∞

−∞

dt ^′ δx (t ^′ )

δx (t) ∂ _t ^{2 ′} + ω ² x t ^′

− 1 2

Z _∞

−∞

dt ^′ x t ^′

∂ _t ^{2 ′} + ω ² δx (t ^′ ) δx (t)

= − 1

2 ∂ _t ² + ω ²

x (t) − 1 2

Z _∞

−∞

dt ^′ x t ^′

∂ _t ^{2 ′} + ω ²

δ t − t ^′

Umdas verbleibende Integral auszuwerten, integrieren wir wiederpartiell und vernah-

lässigen Randterme.

Z

dt ^′ x t ^′

∂ _t ^{2 ′} δ t − t ^′

= Z

dt ^′ ₍₍₍₍ ∂ t ^′ x t ^{′ (((( (((}

∂ t ^′ δ t − t ^′

− x t ˙ ^′

∂ t ^′ δ t − t ^′

= Z

dt ^′ ₍₍₍₍ ^{(((( (((}

(

− ∂ t ^′ x t ˙ ^′

δ t − t ^′

+ ¨ x t ^′

δ t − t ^′

Dasbedeutet insgesamt:

δ A [x, j]

δx (t) = − ∂ _t ² + ω ²

x (t) − j (t)

Hier betrahten wirwiedernurden ersten Termauf der rehten Seite:

∂ _t ² + ω ²

x (t) = ₍₍₍₍ ∂ _t ² + ω ^{2 ((((}

x ₀ (t) + ∂ _t ² + ω ² Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′

Z _∞

δ A [x, j]

δx (t) = 0.

b)

Zeige

Z [j] = Z [0] exp

− i 2

Z _∞

−∞

dt Z _∞

−∞

dt ^′ j (t) G t − t ^′ j t ^′

mit

Z [j] = Z

D x e ^iA[x,j]

undsomit

Z [0] = Z

D x e ^{i A[x,0]} = Z

D x e ^iA[x] = Z

D x e ^{2 i R}

∞

−∞ dt ( ^{x ˙ 2} − ω ² x ² ) .

Wirbetrahten nur den Exponenten:

A [x, j] = 1 2

Z _∞

−∞

dt

˙

x ² − ω ² x ²

− 2j (t) x (t)

Wirsetzen ein:

x (t) = x ₀ (t) + Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

˙

x (t) = x ˙ ₀ (t) + ∂ t

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

˙

x ² = x ˙ ² ₀ +

∂ t

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ 2

+ 2 ˙ x ₀ ∂ t

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

x ² = x ² ₀ + Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ 2

+ 2x ₀ Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

.

Damitfolgt:

A [x, j] = 1 2

Z _∞

−∞

dt

"

˙

x ² ₀ − ω ² x ² +

∂ t

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ 2

− ω ² Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ 2

+2 ˙ x ₀ ∂ t − ω ² x ₀ Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

− 2j (t)

x ₀ (t) + Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ # .

Fürden Term

∂ t

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ 2

ben.

Z _∞

−∞

dt

∂ _t Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ 2

= Z _∞

−∞

dt

∂ t

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

∂ t

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′

= 0 − Z _∞

−∞

dt Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

·

∂ _t ² Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ .

Auÿerdemist

Z _∞

−∞

dt x ˙ ₀ ∂ t

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

= 0 − Z _∞

−∞

dt x ₀ ∂ _t ² Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′ j t ^′

.

Damitfolgt:.

A [x, j] = 1 2

Z _∞

−∞

dt

"

˙

x ² ₀ − ω ² x ² + Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′

· Z _∞

−∞

dt ^′ − ∂ _t ² − ω ²

G t − t ^′

| {z }

δ(t − t ^′ )

j t ^′

+2x ₀ Z _∞

−∞

dt ^′ − ∂ _t ² − ω ²

G t − t ^′

| {z }

=δ(t − t ^′ )

j t ^′

− j (t)

x ₀ (t) + Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ #

= 1 2

Z _∞

−∞

dt

"

˙

x ² ₀ − ω ² x ² +

: 1 j (t) ·

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′

+ ₍₍₍₍ 2x ₀ (t) j ⁽⁽⁽⁽ (t) − 2x ₀ ⁽⁽⁽⁽ (t) j (t)

− 1 2j (t))

Z _∞

−∞

dt ^′ G t − t ^′

j t ^′ #

= 1 2

Z _∞

−∞

dt x ˙ ² ₀ − ω ² x ² − 1 2

Z _∞

−∞

dt Z _∞

−∞

dt ^′ j (t) G t − t ^′ j t ^′

Und wiedereingesetzt:

Z [j] = Z

D x e ^{2 i R}

∞

−∞ dt ( ^{x ˙ 2} −ω ² x ² ) e ^{− 2 i R}

∞

−∞ dt R ∞

−∞ dt ^′ j(t)G(t−t ^′ )j(t ^′ )

= Z [0] e ^{− 2 i R}

∞

−∞ dt R ^∞

−∞ dt ^′ j(t)G(t − t ^′ )j(t ^′ )

)

Es istzu zeigen:

i δ ² Z [j]

δZ [j]

δj (t 1 ) = δ

δj (t 1 ) Z [0] exp

− i 2

Z _∞

−∞

dt Z _∞

−∞

dt ^′ j (t) G t − t ^′ j t ^′

= Z [j]

− i 2

Z _∞

−∞

dt Z _∞

−∞

dt ^′ δj (t)

δj (t ₁ ) G t − t ^′ j t ^′

+ Z _∞

−∞

dt Z _∞

−∞

dt ^′ j (t) G t − t ^′ δj (t ^′ ) δj (t ₁ )

= Z [j]

− i 2

Z _∞

−∞

dt ^′ G t ₁ − t ^′ j t ^′

+ Z _∞

−∞

dt j (t) G (t − t ₁ )

[G (t) = G ( − t)] = Z [j] ( − i) Z _∞

−∞

dt j (t) G (t − t 1 )

unddann dieandere:

δ ² Z [j]

δj (t ₁ ) δj (t ₂ ) = δZ [j]

δj (t ₂ )

Z [j] ( − i) Z _∞

−∞

dt j (t) G (t − t ₁ )

= Z [j] ( − i) ( − i) Z _∞

−∞

dt j (t) G (t − t ₁ ) Z _∞

−∞

dt j (t) G (t − t ₂ ) +Z [j] ( − i) G (t ₁ − t ₂ ) .

Setzte mannun

j = 0

^{wirddererste Summand identish 0und wirerhalten:}

G (t ₁ − t ₂ ) = i Z [0]

δ ² Z [j]

δj (t ₁ ) δj (t ₂ )

j=0

.

Es ist zu zeigen:

G (t ₁ − t ₂ ) == − i Z [0]

Z

D x x (t ₁ ) x (t ₂ ) e ^{i A [x]} .

δ ² Z [j]

δj (t ₁ ) δj (t ₂ ) = δ ² δj (t ₁ ) δj (t ₂ )

Z

D x e ^iA[x,j]

= δ ²

δj (t 1 ) δj (t 2 ) Z

D x e ^{i A [x] − i R}

∞

−∞ dt ^′ j(t ^′ )x(t ^′ )

= δ ² δj (t ₁ )

Z

D x e ^{i A[x]− i R}

∞

−∞ dt ^′ j(t ^′ )x(t ^′ ) ( − ix (t 1 ))

= Z

D x e ^{iA[x]−i R}

∞

−∞ dt ^′ j(t ^′ )x(t ^′ ) ( − ix (t ₁ )) ( − ix (t ₂ ))

= −

Z

D x e ^{i A [x] − i R}

∞

−∞ dt ^′ j(t ^′ )x(t ^′ ) ix (t ₁ ) x (t ₂ )

Setzt manwieder

j = 0

^folgt:

i Z [0]

δ ² Z [j]

δj (t ₁ ) δj (t ₂ )

j=0

= − Z

D x e ^{i A [x]} ix (t ₁ ) x (t ₂ )

Betrahte

∂ _t ² + ω ²

G (t) = − δ (t) ,

wasmanfür

t ^′ = 0

^{erhält.DieFourier-T}ransformierte der

δ

^{-Funktionistbekanntlihkon-}

stant1.DieGreen'sheFunktion

G (t)

^{mitihrerFourier-T}ransformierten

G ˜ (Ω)

^verknüpft

durh:

G ˜ (Ω) = Z

dt G (t) e ^{− iΩt} G (t) =

Z dΩ

2π G ˜ (t) e ^iΩt .

⁽²⁾

Wendet manauf(2)den Operator

∂ ² _t + ω ²

an,erhält man:

− δ (t) = ∂ _t ² + ω ² Z dΩ

2π G ˜ (Ω) e ^iΩt = Z dΩ

2π ω ² − Ω ² G ˜ (Ω)

| {z }

= ! − 1

e ^iΩt

woraus folgt:

G ˜ (ω) = 1 Ω ² − ω ² .

Nun kann mandieGreen'she Funktion bestimmenmittels (2).Hierzu zerlegen wirerst

den Integranden:

1

Ω ² − ω ² = A

Ω − ω + B Ω + ω

⇒ A = − B ⇒ A = 1 2ω 1

Ω ² − ω ² = 1 2ω

1

Ω + ω − 1 Ω − ω

.

Als integrierenden Faktor führenwirjeweils

iε

^ein.

G (t) = 1 2ω

Z dΩ 2π

e ^iΩt

Ω + ω − iε − e ^iΩt Ω − ω + iε

Wirwenden den Residuensatzan, untersheiden implizit zwishen

t > 0

^und

t < 0

^und

erhalten:

G (t) = i2π 2ω

1

2π θ (t) e ^{− iωt − εt} + θ ( − t) e ^iωt+εt .

Lässt manjetzt wieder

ε → 0

^laufenfolgt:

G (t) = i

2ω θ (t) e ^{− iωt} + θ ( − t) e ^iωt

Zuletzt berehnen wirnoh dasMatrixelement:

h 0 | T [ˆ x (t ₁ ) ˆ x (t ₂ )] | 0 i

⁽³⁾

mit

T [ˆ x (t 1 ) ˆ x (t 2 )] = θ (t 1 − t 2 ) ˆ x (t 1 ) ˆ x (t 2 ) + θ (t 2 − t 1 ) ˆ x (t 2 ) x (t 1 ) .

Zuerst drüken wir den Ortsoperator durh den Erzeugungs- und Vernihtungsoperator

aus.Mit

~ = m = 1

^folgt:

ˆ

x (t) = 1

√ 2ω

ˆ a ^† (t) + ˆ a (t)

Diessetzen wir(3)einund erhalten:

h 0 | T [ˆ x (t 1 ) ˆ x (t 2 )] | 0 i

= h 0 | θ (t ₁ − t ₂ ) ˆ x (t ₁ ) ˆ x (t ₂ ) + θ (t ₂ − t ₁ ) ˆ x (t ₂ ) x (t ₁ ) | 0 i

= D 0

θ (t ₁ − t ₂ ) 1 2ω

ˆ a ^† (t ₁ ) + ˆ a (t ₁ ) ˆ a ^† (t ₂ ) + ˆ a (t ₂ ) +θ (t ₂ − t ₁ ) 1

2ω

ˆ a ^† (t ₁ ) + ˆ a (t ₁ ) ˆ a ^† (t ₂ ) + ˆ a (t ₂ ) 0 E

= D 0

θ (t 1 − t 2 ) 1 2ω



  ˆ

a ^† (t 1 ) ˆ a ^† (t 2 ) + ˆ a ^† (t 1 ) ˆ a (t 2 ) + ˆ a (t 1 ) ˆ a ^† (t 2 )

| {z }

=e ^{iω(t 2 − t 1)}

+ ˆ a (t 1 ) ˆ a (t 2 )



 

+θ (t ₂ − t ₁ ) 1 2ω



  ˆ

a ^† (t ₁ ) ˆ a ^† (t ₂ ) + ˆ a ^† (t ₁ ) ˆ a (t ₂ ) + ˆ a (t ₁ ) ˆ a ^† (t ₂ )

| {z }

=e ^{iω(t 1 − t 2)}

+ ˆ a (t ₁ ) ˆ a (t ₂ )



  0 E 1

2ω

θ (t ₁ − t ₂ ) e ^{iω(t 2 − t 1 )} + θ (t ₂ − t ₁ ) e ^{iω(t 1 − t 2 )}

Bisaufein

i

^{gleiht diesesErgebnissehr demvon} Aufgabenteil d)für

t = t 1 − t 2

^.