c 2 · 1 exp kT hν

Heiko Dumlich

6. Mai2006

1.

(a)

WirstellendieGleichung:

P(ν, T )dA · cos θdΩdν = 2hν ³

c ² · 1 exp _kT ^hν

− 1 dA · cos θdΩdν

inAbhängigkeitderWellenlängedar.HierbeigiltderZusammenhang

λ · ν = c

^,

somitfolgt

λ = _ν ^c

^bzw.

ν = _λ ^c

^{. Wirbetrachtenalso}

P tot

^:

P tot = Z ν 2

ν 1

dν P (ν, T )

Nunsubstituierenwir

λ = _ν ^c → ^dλ _dν = − _ν ^c 2 → dν = − ^dλ _c ν ²

^.Einsetzenin

P tot

undsubstituierenderGrenzenliefert:

P tot = Z ν ^c 2

c ν 1

dλ

− ν ² c

2hν ³

c ² · 1 exp _kT ^hν

− 1

Nunsetzenwir

ν = ^c _λ

^{ein,benutzendas}

−

^{zumdrehen derGrenzenund}

erhalten:

P tot = Z ν ^c 1

c ν 2

dλ c λ ²

2h _λ ^{c 3} 3

c ² · 1

exp _kT ^hc · ¹ _λ

− 1

Wirformen umunderhalten:

P tot = Z ν ^c 1

c ν 2

dλ 2hc ²

λ ⁵ · 1

exp _kT ^hc · ¹ _λ

− 1

P tot = Z ν ^c 1

c ν 2

dλ P (λ, T )

Somitfolgtfür

P (λ, T )

^:

P (λ, T ) = 2hc ²

λ ⁵ · 1

exp _kT ^hc · _λ ¹

− 1

SomitfolgtfürdiegegebeneGleichunginAbhängigkeitvon

λ

^:

P (λ, T )dA · cos θdΩdλ = 2hc ²

λ ⁵ · 1

exp _kT ^hc · ¹ _λ

− 1 dA · cos θdΩdλ

(b)

Wirbestimmen

ν m

^und

λ m

^{,dieFrequenzund}WellenlängedermaximalenStrah- lungsdichte.Hierzuleitenwirjeweils

P (ν, T )

^und

P (λ, T )

^nach

ν

^bzw.

λ

^abund

setzendasErgebnisgleich

0

^{,umdieExtremazuerhalten.}

Wirbeginnenmit

P (ν, T )

^{,wobeifürdieAbleitung folgt:}

P ⁰ (ν, T ) = 6hν ²

c ² · 1 exp _kT ^hν

− 1 − 2hν ³ c ² · h

kT · exp _kT ^hν exp ^hν _kT

− 1 ²

Wir setzendie Ableitung

0

^{undkürzen durch}

^2hν _c 2 ² · ¹

( ^exp ( ^{hν kT} ) − 1 ) ²

^{, wodurch}

wir:

0 = 3 exp hν

kT

− 3 − hν kT exp

hν kT

erhalten.Wir stellenum:

3 =

3 − hν kT

exp

hν kT

NumerischesLösenmit mapleundeinsetzenderKonsantenliefert:

ν m ≈ 5.88 · 10 ¹⁰ · T · [ 1 s · K ]

WirbestimmennundieAbleitungvon

P (λ, T )

^:

P ⁰ (λ, T ) = −5 · 2hc ²

λ ⁶ · 1

exp _kT ^hc · _λ ¹

− 1 + 2hc ² λ ⁵ · hc

kT λ ² · exp _kT ^hc · ¹ _λ exp _kT ^hc · ¹ _λ

− 1 2

WirsetzendieAbleitung

0

^{undkürzendurch}

^2hc _λ ^{6 2 1}

( ^exp ( kT ^hc · ¹ λ ) − 1 ) ²

^,dasliefert:

0 = 5 − 5 exp hc

kT · 1 λ

+ hc

kT λ · exp hc

kT · 1 λ

Darausfolgt:

5 =

5 − hc kT · 1

λ

exp hc

kT · 1 λ

NumerischesLösenmit mapleundeinsetzenderKonsantenliefert:

λ m ≈ 2.90 · 10 ^{− 3} T [K · m]

Der Vergleich mit den ausgeplotteten Graphen von

P (ν, T )

^und

P (λ, T )

bestätigtdieMaxima,wobeidieGraphenfür

T = 273.15 K

^{betrachtetwurden.}

(Diemapleworksheetskönnen,fallsbenötigt,vorgezeigtwerden,wobeidort

diegraphischeÜberprüfungderWertedurchgeführtwurdeunddienumerische

Lösungberechnetwurden.)

(c)

FürdasWien'scheVerschiebungsgesetzfür

ν m

^{gilt,wiebereitsin}Aufgabenteil (b)gezeigt:

ν m ≈ 5.88 · 10 ¹⁰ · T · [ 1 s · K ]

MankanndiesauchandersdurchdieSubstitutionvon

x ν = ^hν _kT ≈ 2.82

^als:

ν m ≈ x ν kT

h

schreiben.

Für die Wellenlänge hätte man in (b) auch eine Substitution mit

x λ =

hc

λkT ≈ 4.97

durchführenkönnen.DieswirdinAufgabenteil(d)nützlichsein.

(d)

Wirbetrachten

ν m

^und

λ m

^{,wobeisofortdie}Abhängigkeitvon

T

^bzw.

_T ¹

^auällt.

Die Frequenz ist hierbei proportional zurTemperatur und die Wellenlängeist

antiproportionalzurTemperatur.Dieskannalssinnvollerachtetwerden,dadie

Variablen

ν

^und

λ

^{überdasVerhältnis}

λ· ν = c

^auchantiproportionalverknüpft sind.Wir setzeneinigeTesttemperaturenein :

ZuerstbetrachtenwirdieSpezialfälle

T → ∞

^und

T → 0

^,somitfolgt:

(T → ∞) : ν m → ∞ | (T → 0) : ν m → 0

(T → ∞) : λ m → 0 | (T → 0) : λ m → ∞

NunbetrachtenwirnochdenWertfür

0 ^◦ C = 273.15 K

^:

ν m ≈ 1.61 · 10 ¹³ 1

s

λ m ≈ 1.06 · 10 ^{− 4} m

WirprüfendasErgebnismit

c = λ m · ν m

^underhalten:

c = 1.71 · 10 ⁸ m s

Diese Abweichung würde auf den ersten Blick selbst für eine numerische

Lösung (Abweichung ca. einer halben Gröÿenordnung) zu groÿ sein. Jedoch

wissen wir, dass die Maxima für Frequenz und Wellenlänge verschieden sind,

alsoauch beieinerTemperatur nichtalsäquivalentbetrachtet undauch nicht

durch die Beziehung

c = λ m · ν m

^{umgeformt werden dürfen. Dies haben wir}

bereits durch die Substitution in Aufgabenteil (a) gezeigt. Jedoch kann die

Abweichung vom

c

^{-Wert als Maÿ für den Abstand der Maxima zwischen der}

FrequenzundderWellenlängebetrachtetwerden,wobeiwirschreibenkönnen:

c = 2.90 · 10 ^{− 3}

T · 5.88 · 10 ¹⁰ · T · [ m

s ] = 5.88 · 10 ¹⁰ · 2.90 · 10 ^{− 3} m

s = 1.71 · 10 ⁸ m s

Wirerhalten hierausdieFaktoren

x ν

x λ ≈ 0.57

^bzw.

^x _x ^λ _ν ≈ 1.76

^,mitdenendie

Umformungenzwischen

ν m

^und

λ m

^{möglichwerden,esgilt:}

c = ^x _x ^λ _ν ν m · λ m

Umeine zweiten Wert zuerhalten betrachtenwirdie Temperatur bei

T = 500 K

^underhalten:

ν m ≈ 2.94 · 10 ¹³ 1 s λ m ≈ 5.80 · 10 ^{− 6} m

WirbenutzendiesmalunserenUmrechnungsfaktorunderhaltenfür

c

^:

c = 3.00 · 10 ⁸ m

s

DiesstimmtsehrgutmitderErwartungfür

c

^überein.

2.

Wirbestimmendie(hypothetische)heutigeTemperaturdesStrahlersder'kosmischen-

Mikrowellen-Hintergrundstrahlung'ausdemgezeigtenSpektrum,wobeiwirdie

aus Aufgabe 1 (b) bestimmte Formel für die maximale Wellenlänge

λ m ≈

2.90 · 10 ^{− 3}

T [K · m]

^{verwenden.Umstellenliefert:}

T strahl ≈ 2.90 · 10 ^{− 3}

λ m

[K · m]

wobeiwir

1

λ m = 5.2 · _cm ¹ = 5.2 · 10 ^{2 1} _m

^{aus dem Graphenbestimmt haben,}

somitfolgtfürdieTemperatur

T strahl ≈ 2.90 · 10 ^{− 3} · 5.2 · 10 ² · ^K _m ^{· m} ≈ 1.51 K

^.

WirbetrachtendieStrahlungsleistungeinerNeon-Leuchtstoröhre,wennwirsie

alsidealenSchwarzkörperannehmen.SomitgiltfürdieabgestrahlteLeistung:

P ges = A · T ⁴ · σ

WirgehenvoneinerzylinderförmigenLeuchtstoröhreaus(wobeiwirdavon

ausgehen,dassnurdieMantelächestrahltunddieEndenfürdieStromversor-

gung benutzt werden), d.h.

A M antel = πdl

^{, wobei wir von einer Länge von}

l = 1.4m

^{und einem} Durchmesser von

d = 2cm = 2 · 10 ^{− 2} m

^{ausgehen. Für}

die Temperatur nehmen wir

T = 2700K

^{an. Die Konstante}

σ

^{ist die Stefan-}

Boltzmann-Konstante und besitzt den Wert

σ = 5.67 · 10 ^{− 8} _m ^{W 2} _K ⁴

^{. Somit folgt}

dannfürdieStrahlungsleistungnach einsetzen:

P ges = 2.65 · 10 ⁵ W

4.

Siehe-Anhang-(Mathematicaprintout).