P5.1 - Spin- 1 2 Paramagnet – Negative Temperatur

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 5 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am Mittwoch 22.11 Pr¨ asenz¨ ubungen

P5.1 - Spin- ¹ ₂ Paramagnet – Negative Temperatur

Wir betrachten ein quantenmechanisches System von N lokalisierten Spin- ¹ ₂ Teilchen, die mittels ihres magnetischen Momentes µ _B an ein ¨ außeres Magnetfeld B koppeln (b = −µ _B B < 0). Der Hamiltonoperator lautet

H ˆ = −b

N

X

i=1

σ i , mit σ i = ±1.

In Aufgabe P2.1 hatten wir gesehen, dass die Energie eines Mikrozustands σ = (σ ₁ ,σ ₂ , . . . ,σ _N ) gegeben ist durch

E(σ) = −b(N ₊ − N ₋ ) ,

wobei N − die Zahl der in Feldrichtung zeigenden Spins bezeichnet und N ₊ die Zahl der geflippten Spins. Es gilt N + + N − = N . F¨ ur die Anzahl der Mikrozust¨ ande zur Energie E hatten wir durch kombinatorische ¨ Uberlegungen den folgenden Ausdruck gefunden

Ω(N,N − ) = N

N −

= N ! N + !N − ! .

a) Werten Sie diesen Ausdruck mit Hilfe der Stirling-Formel aus und zeigen Sie, dass ln Ω(E) = N

2

−(1 + ¯ e) log 1 + ¯ e

2 − (1 − e) log ¯ 1 − e ¯ 2

, wobei e ¯ = − E

N b . (1) b) Wie lautet der Definitionsbereich von ¯ e ?

c) Berechnen Sie nun die mikrokanonische Entropie S = k _b ln(Ω(E)) und Temperatur des Sy- stems.

P5.2 - Generalisierter statistischer Operator f¨ ur Zwei-Zustandssystem

F¨ ur zwei Moden 1 und 2 eines Photonenfeldes ¹ seien die Erwartungswerte h N ˆ ₁ i und h N ˆ ₂ i, d.h. de- ren jeweilige mittlere Populationen bekannt. Die Teilchenzahl sei in diesem System nicht erhalten.

1

Photonen haben den Spin 1.

1

a) Wie lautet allgemein f¨ ur diese Beobachtungsebene der generalisierte statistische Operator R ˆ _{ N ˆ

} ausgedr¨ uckt mittels Lagrangemultiplikatoren?

b) Zeigen Sie, dass die Zustandssumme Z {N

} = (1 − e ^−λ

) ⁻¹ (1 − e ^−λ

) ⁻¹ ist, wobei λ i die Lagrangemultiplikatoren zu N _i sind.

c) Zeigen Sie schließlich, dass der statistische Operator ausgedr¨ uckt in den bekannten Erwar- tungswerten die kompakte Form

R ˆ _{ N ˆ

} = 1 hN ₁ ihN ₂ i

hN ₁ i 1 + hN ₁ i

N ^ˆ

+1

hN ₂ i 1 + hN ₂ i

N ^ˆ

+1

annimmt.

Haus¨ ubungen

H5.1 - Spin- ¹ ₂ Paramagnet im kanonischen Ensemble [1P]

Im Folgenden wollen wir das in P5.1 eingef¨ uhrte Modell im kanonischen Formalismus behandeln.

Das zentrale Objekt im kanonischen Ensemble ist die Zustandssumme, welche gegeben ist durch Z _N = Sp

e ^{−β H ˆ}

, mit β = 1 k b T . a) Berechnen Sie die kanonische Zustandssumme des Systems.

b) Leiten Sie nun einen Ausdruck f¨ ur die freie Energie F sowie die mittlere innere Energie h Hi ˆ ab. L¨ osen Sie die Relation f¨ ur die innere Energie nach der Temperatur auf, um T _K (¯ e) zu erhalten. Hierbei kann es hilfreich sein, die Relation tanh ⁻¹ (z) = 1/2 ln((1 + z)/(1 − z)) zu verwenden. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe (c). Skizzieren Sie den Verlauf von T _K (¯ e).

H5.2 - Entropie und Grabenk¨ ampfe [2P]

Ein mittlerweile mehr als 100 Jahre andauernder Streit betrifft die Definition der Entropie im mikrokanonischen Ensemble. ² Die zwei konkurrierenden Definitionen lauten

S _S = k _b ln(Ω(E)) , S _V = k _b ln( ¯ Ω(E)) .

Die erste Definition nimmt Bezug auf die Phasenraumoberfl¨ ache Ω(E), d.h. auf die Anzahl der Zust¨ ande zu einer fest vorgegebenen Energie E. Die Entropie S V ist hingegen ¨ uber das Phasenraumvolumen ¯ Ω(E ₀ ) definiert, welches gegeben ist durch die Anzahl der Zust¨ ande mit E ≤ E ₀ .

2

Siehe zum Beispiel H¨ anggi, P., Hilbert, S. and Dunkel, J., ‘‘Meaning of temperature in different thermostatistical ensembles’’,arxiv:1507.05713

2

a) Leiten Sie f¨ ur beide Entropien Ausdr¨ ucke f¨ ur die entsprechenden Temperaturen T _S und T _B ab und argumentieren Sie qualitativ, welche Definition zu negativen Temperaturen f¨ uhren kann und welche nicht.

b) Im folgenden soll nun wieder das Modell aus Aufgabe P5.1 betrachtet werden. Plotten Sie T _S (¯ e), T _B (¯ e) sowie die kanonische Temperatur T _K (¯ e) (Aufgabe P5.1e) im Definitionsbereich von ¯ e f¨ ur N = 100. Ersetzen Sie dazu die Fakult¨ aten durch Gamma-Funktionen und inte- grieren Sie den Ausdruck f¨ ur Ω(¯ e) numerisch. Die Konstante k _b /b kann dabei auf −1 gesetzt werden.

c) Wie nennt man einen Zustand, der zu einer negativen Temperatur korrespondiert (Stichwort Laser als Zwei-Niveau System)?

H5.3 - Generalisierter statistischer Operator f¨ ur nichtwechselwirkende Fermionen und Bosonen [2P]

Ein quantenmechanisches System von Fermionen mit variabler Teilchenzahl sei in der Beset- zungszahldarstellung durch den Hamiltonian ˆ H = P

j∈I _j b ^† _j b _j beschrieben, wobei der Index j gerade die als diskret angenommenen Einteilchen Energieeigenzust¨ ande |ji abz¨ ahlt. Die Beob- achtungsebene sei nun durch alle Besetzungszahloperatoren ˆ N _j = b ^† _j b _j gegeben, d.h. zu jedem Gesamtenergieeigenzustand |j i seien die mittleren Besetzungszahlen h N ˆ _j i bekannt.

a) Argumentieren Sie, dass dann der generalisierte statistische Operator gerade durch R ˆ _{ N ˆ

} = e ^{− P}

^λ

^{N ˆ}

Z _{ N ˆ

}

gegeben ist. Zeigen Sie ferner, dass Z _{{ N ˆ}

i

} = Q

i∈I (1 + e ^−λ

) gilt und dass die Lagrange- Muletipllikatoren λ _i durch λ _i = ln ^1−h _{h ˆ} ^{N ˆ}

ⁱ

N

i gegeben sind.

b) Bestimmen Sie die zugeh¨ orige Entropie S _{ N ˆ

} als Funktion der Erwartungswerte h N ˆ _j i.

c) Wie lautet das analoge Resultat der Entropie f¨ ur den Fall von Bosonen?

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